प्रायिकता को माप सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है?

माप सिद्धांत ही वह है जो प्रायिकता को अनंत नमूना स्थानों, सतत यादृच्छिक चरों और घटनाओं की सीमाओं को सुसंगत रूप से संभालने की अनुमति देता है; माप की गणनीय योगात्मकता ठीक वही गुण है जिसकी सीमा प्रमेयों और सशर्त प्रत्याशा को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए आवश्यकता होती है।

घटनाओं का सिग्मा-बीजगणित क्या है?

यह नमूना स्थान के उपसमूहों का संग्रह है जिसे एक प्रायिकता सौंपी जाती है, जो पूरक और गणनीय संघ के तहत बंद होता है; यह समापन ही घटनाओं की सीमाओं की प्रायिकताओं की गणना करने की अनुमति देता है।

माप-सैद्धांतिक प्रायिकता

माप-सैद्धांतिक प्रायिकता कुल द्रव्यमान एक के एक माप स्थान पर संयोग के पूरे सिद्धांत का निर्माण करती है, जिसमें घटनाओं को मापने योग्य सेटों के रूप में, यादृच्छिक चरों को मापने योग्य फलनों के रूप में, और प्रत्याशा को प्रायिकता माप के विरुद्ध समाकलन के रूप में पुनर्गठित किया जाता है।

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Definition

माप-सैद्धांतिक प्रायिकता प्रायिकता का स्वयंसिद्ध आधार है जिसमें प्रायिकता घटनाओं के सिग्मा-बीजगणित पर कुल द्रव्यमान एक का एक गणनीय रूप से योगात्मक माप है, यादृच्छिक चर मापने योग्य फलन हैं, और प्रत्याशा प्रायिकता माप के विरुद्ध एक यादृच्छिक चर का समाकलन है।

Scope

यह क्षेत्र प्रायिकता स्थानों और घटनाओं के सिग्मा-बीजगणित (sigma-algebras), प्रायिकता मापों और उनके मूल गुणों, स्वतंत्रता और बोरेल-कैंटेली लेम्मा (Borel-Cantelli lemmas), अभिसरण प्रमेयों और असमानताओं के साथ लेबेग समाकलन (Lebesgue integral) के रूप में प्रत्याशा के निर्माण, और रैडॉन-निकोडिम प्रमेय (Radon-Nikodym theorem) के माध्यम से परिभाषित सशर्त प्रत्याशा को शामिल करता है।

Sub-topics

Core questions

संयोग के एक सुसंगत सिद्धांत का समर्थन करने के लिए प्रायिकता असाइनमेंट को किन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना चाहिए?
एक अमूर्त नमूना स्थान पर यादृच्छिक चर और उनकी प्रत्याशाओं को कठोरता से कैसे परिभाषित किया जाता है?
घटनाओं या यादृच्छिक चरों के स्वतंत्र होने का क्या अर्थ है, और इसके क्या स्पर्शोन्मुख परिणाम होते हैं?
शून्य प्रायिकता की घटनाओं पर या पूरे सिग्मा-बीजगणित पर कंडीशनिंग करते समय सशर्त प्रायिकता को कैसे परिभाषित किया जाता है?

Key theories

कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध: प्रायिकता को घटनाओं के सिग्मा-बीजगणित पर कुल द्रव्यमान एक के एक गणनीय रूप से योगात्मक, गैर-नकारात्मक सेट फलन के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है, जो माप सिद्धांत की पूरी मशीनरी को उपलब्ध कराता है और प्रायिकता को उसका कठोर आधुनिक आधार देता है।
बोरेल-कैंटेली लेम्मा: यदि घटनाओं के एक अनुक्रम की प्रायिकताएं योगात्मक हैं तो लगभग निश्चित रूप से केवल परिमित रूप से कई घटित होती हैं, और इसके विपरीत गैर-योगात्मक प्रायिकताओं वाली स्वतंत्र घटनाओं के लिए अनंत रूप से कई लगभग निश्चित रूप से घटित होती हैं, जो टेल व्यवहार के लिए एक तीव्र द्विभाजन देती है।
रैडॉन-निकोडिम के माध्यम से सशर्त प्रत्याशा: एक उप-सिग्मा-बीजगणित को देखते हुए सशर्त प्रत्याशा को अद्वितीय समाकलनीय, मापने योग्य फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके समाकलन उस उप-सिग्मा-बीजगणित पर सहमत होते हैं, जिसका अस्तित्व रैडॉन-निकोडिम प्रमेय द्वारा गारंटीकृत है; यह मार्टिंगेल और बायेसियन अद्यतन का आधार है।

Clinical relevance

यह क्षेत्र सभी कठोर प्रायिकता का आधार है: सीमा प्रमेय (limit theorems), मार्टिंगेल (martingales), मार्कोव प्रक्रियाएं (Markov processes), और स्टोकेस्टिक कैलकुलस (stochastic calculus) सभी प्रायिकता-स्थान (probability-space) नींव पर विकसित किए गए हैं, और विशेष रूप से सशर्त प्रत्याशा (conditional expectation) फ़िल्टरिंग (filtering), भविष्यवाणी (prediction), बायेसियन अनुमान (Bayesian inference), और वित्तीय डेरिवेटिव (financial derivatives) के नो-आर्बिट्रेज मूल्य निर्धारण (no-arbitrage pricing) का औपचारिक आधार है।

History

प्रायिकता को कोलमोगोरोव (Kolmogorov) के 1933 के मोनोग्राफ द्वारा एक कठोर आधार पर रखा गया था, जिसने प्रायिकता को कुल द्रव्यमान एक के माप के साथ पहचाना और बोरेल (Borel), कैंटेली (Cantelli), और लेवी (Levy) के पहले के काम को एकीकृत किया। डूब (Doob) और अन्य द्वारा परिष्कृत माप-सैद्धांतिक दृष्टिकोण, क्षेत्र की मानक भाषा बन गया और बिलिंग्सले (Billingsley), डुरेट (Durrett), और विलियम्स (Williams) के स्नातक ग्रंथों में प्रस्तुत किया गया है।

Key figures

Andrey Kolmogorov
Emile Borel
Francesco Paolo Cantelli
Joseph L. Doob

Seminal works

kolmogorov1933
billingsley1995

Frequently asked questions

प्रायिकता को माप सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है?: माप सिद्धांत ही वह है जो प्रायिकता को अनंत नमूना स्थानों, सतत यादृच्छिक चरों और घटनाओं की सीमाओं को सुसंगत रूप से संभालने की अनुमति देता है; माप की गणनीय योगात्मकता ठीक वही गुण है जिसकी सीमा प्रमेयों और सशर्त प्रत्याशा को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए आवश्यकता होती है।
घटनाओं का सिग्मा-बीजगणित क्या है?: यह नमूना स्थान के उपसमूहों का संग्रह है जिसे एक प्रायिकता सौंपी जाती है, जो पूरक और गणनीय संघ के तहत बंद होता है; यह समापन ही घटनाओं की सीमाओं की प्रायिकताओं की गणना करने की अनुमति देता है।