स्वतंत्रता और बोरेल-कैंटेली लेम्मा
स्वतंत्रता इस विचार को औपचारिक रूप देती है कि कुछ घटनाओं को जानने से आपको दूसरों के बारे में कुछ भी पता नहीं चलता है, और बोरेल-कैंटेली लेम्मा प्रायिकताओं के योग को इस बारे में तीक्ष्ण लगभग-निश्चित कथनों में बदल देती है कि घटनाओं का एक क्रम कितनी बार घटित होता है।
Definition
घटनाएँ तब स्वतंत्र होती हैं जब उनके संयुक्त घटित होने की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के गुणनफल में गुणनखंडित हो जाती है, और बोरेल-कैंटेली लेम्मा घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के अभिसरण या अपसरण को इस बात से संबंधित करती है कि क्या अनंत रूप से कई घटनाएँ लगभग निश्चित रूप से घटित होती हैं।
Scope
इस विषय में घटनाओं, सिग्मा-बीजगणित और यादृच्छिक चरों की स्वतंत्रता, इसे समर्थन देने वाले समूहन और सन्निकटन लेम्मा, पहले और दूसरे बोरेल-कैंटेली लेम्मा, टेल घटनाओं के लिए कोलमोगोरोव का शून्य-एक नियम, और लगभग-निश्चित अभिसरण तथा दुर्लभ घटनाओं की पुनरावृत्ति के अनुप्रयोग शामिल हैं।
Core questions
- घटनाओं, सिग्मा-बीजगणित और यादृच्छिक चरों के लिए स्वतंत्रता का क्या अर्थ है, और ये धारणाएँ कैसे संबंधित हैं?
- घटनाओं का एक क्रम केवल सीमित बार कब घटित होता है, और यह अनंत बार कब दोहराया जाता है?
- विपरीत बोरेल-कैंटेली लेम्मा को स्वतंत्रता क्यों माननी चाहिए?
- एक स्वतंत्र अनुक्रम की टेल घटना की प्रायिकता या तो शून्य या एक क्यों होती है?
Key concepts
- घटनाओं की स्वतंत्रता
- सिग्मा-बीजगणित की स्वतंत्रता
- टेल सिग्मा-बीजगणित
- अनंत-बार घटना
- लगभग-निश्चित पुनरावृत्ति
Key theories
- पहला बोरेल-कैंटेली लेम्मा
- यदि घटनाओं के एक अनुक्रम की प्रायिकताओं का योग परिमित है, तो प्रायिकता एक के साथ केवल सीमित संख्या में घटनाएँ घटित होती हैं; किसी स्वतंत्रता की आवश्यकता नहीं होती है, और यह परिणाम कई लगभग-निश्चित अभिसरण तर्कों का आधार है।
- दूसरा बोरेल-कैंटेली लेम्मा
- यदि घटनाएँ स्वतंत्र हैं और उनकी प्रायिकताओं का योग अपसरित होता है, तो प्रायिकता एक के साथ अनंत रूप से कई घटनाएँ घटित होती हैं, जो स्वतंत्रता के तहत पहले लेम्मा के लिए एक तीक्ष्ण विपरीत प्रदान करती है।
- कोलमोगोरोव शून्य-एक नियम
- स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के एक अनुक्रम के टेल सिग्मा-बीजगणित में किसी भी घटना की प्रायिकता या तो शून्य या एक होती है, इसलिए स्वतंत्र पदों की एक श्रृंखला के अभिसरण जैसे स्पर्शोन्मुख गुण उनके सत्य मान में नियतात्मक होते हैं।
Clinical relevance
ये परिणाम बड़ी संख्याओं के प्रबल नियमों और रिकॉर्ड, रन और दुर्लभ घटनाओं के विश्लेषण के पीछे के कार्यवाहक हैं; विश्वसनीयता और जोखिम विश्लेषण में वे यह निर्धारित करते हैं कि क्या कोई आवर्ती खतरा अनंत बार आता है, और संख्या सिद्धांत और एर्गोडिक सिद्धांत में शून्य-एक नियम बताता है कि कई सीमित गुण या तो हमेशा या कभी नहीं क्यों होते हैं।
History
बोरेल ने 1909 में सामान्य संख्याओं के अपने अध्ययन में अभिसरण आधे को सिद्ध किया, और कैंटेली ने 1917 में स्वतंत्रता के विपरीत को प्रदान किया। कोलमोगोरोव ने बाद में टेल घटनाओं के लिए अपने शून्य-एक नियम के भीतर दोनों को समाहित कर लिया, जिससे वे माप-सैद्धांतिक सिद्धांत के केंद्रीय उपकरण बन गए।
Key figures
- Emile Borel
- Francesco Paolo Cantelli
- Andrey Kolmogorov
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Frequently asked questions
- दूसरा बोरेल-कैंटेली लेम्मा को स्वतंत्रता की आवश्यकता क्यों होती है लेकिन पहले को नहीं?
- स्वतंत्रता के बिना, अपसारी प्रायिकताएँ अभी भी उन घटनाओं का वर्णन कर सकती हैं जो इतनी भारी रूप से अतिव्यापी होती हैं कि केवल सीमित संख्या में ही घटित होती हैं; स्वतंत्रता इस साजिश को खारिज करती है और अनंत घटनाओं को मजबूर करती है।
- टेल घटना क्या है?
- एक टेल घटना वह है जिसका घटित होना अंतर्निहित यादृच्छिक चरों की किसी भी सीमित संख्या पर निर्भर नहीं करता है, जैसे कि एक अनंत श्रृंखला का अभिसरण; कोलमोगोरोव का नियम कहता है कि जब चर स्वतंत्र होते हैं तो ऐसी घटनाओं की प्रायिकता शून्य या एक होती है।