सिग्मा-बीजगणित और माप
एक सिग्मा-बीजगणित यह निर्धारित करता है कि किन समुच्चयों को मापा जा सकता है, और एक माप उनमें से प्रत्येक को एक सुसंगत आकार प्रदान करता है; साथ मिलकर वे मापने योग्य स्थान बनाते हैं जिस पर संपूर्ण समाकलन सिद्धांत आधारित है।
Definition
एक सिग्मा-बीजगणित उपसमुच्चयों का एक संग्रह है जो पूरकों और गणनीय संघों के तहत संवृत होता है, और एक माप एक सिग्मा-बीजगणित पर एक गणनीय रूप से योज्य, गैर-ऋणात्मक समुच्चय फलन है; यह युग्म लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन और प्रायिकता को सामान्यीकृत करने वाला एक माप स्थान बनाता है।
Scope
इस विषय में सिग्मा-बीजगणित और खुले समुच्चयों द्वारा उत्पन्न बोरेल सिग्मा-बीजगणित, मापने योग्य फलन, गणनीय योज्यता के साथ माप के अभिगृहीत, बाह्य माप और कैराथियोडोरी निर्माण, लेबेग माप का निर्माण, पूर्णता और शून्य समुच्चय, और एकदिष्ट अनुक्रमों के साथ माप की निरंतरता शामिल है।
Core questions
- समुच्चयों के कौन से संग्रह आकार की एक सुसंगत धारणा का समर्थन कर सकते हैं?
- यूक्लिडियन स्थान पर लेबेग माप का निर्माण एक बाह्य माप से कैसे किया जाता है?
- गणनीय योज्यता क्या योगदान करती है जो परिमित योज्यता नहीं कर सकती?
- माप को बिल्कुल हर उपसमुच्चय पर क्यों परिभाषित नहीं किया जा सकता है?
Key theories
- कैराथियोडोरी विस्तार प्रमेय
- एक बाह्य माप अपने मापने योग्य समुच्चयों के सिग्मा-बीजगणित पर एक वास्तविक गणनीय रूप से योज्य माप तक सीमित होता है, वह निर्माण जो सरल समुच्चय फलनों से लेबेग माप और अमूर्त स्थानों पर माप उत्पन्न करता है।
- गैर-मापने योग्य समुच्चयों का अस्तित्व
- पसंद के अभिगृहीत को मानते हुए, वास्तविक रेखा के ऐसे उपसमुच्चय मौजूद हैं जिन्हें कोई अनुवाद-अपरिवर्तनीय गणनीय रूप से योज्य माप एक आकार प्रदान नहीं कर सकता है, यही कारण है कि सभी उपसमुच्चयों के बजाय एक सिग्मा-बीजगणित की आवश्यकता होती है।
Clinical relevance
माप स्थान प्रायिकता सिद्धांत का औपचारिक आधार हैं, जहाँ सिग्मा-बीजगणित प्रेक्षणीय घटनाओं को एन्कोड करता है और माप प्रायिकता वितरण है; यही ढाँचा समाकलन, सांख्यिकी और वित्त में यादृच्छिकता का कठोर उपचार, और विश्लेषण में फलन स्थानों की परिभाषा का समर्थन करता है।
History
बोरेल ने लगभग 1898 में अंतरालों से निर्मित समुच्चयों के सिग्मा-बीजगणित की शुरुआत की, और लेबेग ने 1902 में रेखा पर माप को परिभाषित किया। कैराथियोडोरी की बाह्य-माप विधि ने निर्माण को अमूर्त स्थानों तक सामान्यीकृत किया, और विटाली के 1905 के उदाहरण ने एक गैर-मापने योग्य समुच्चय प्रदर्शित किया।
Key figures
- Constantin Caratheodory
- Emile Borel
- Henri Lebesgue
Related topics
Seminal works
- folland1999
- axler2020
Frequently asked questions
- रेखा के प्रत्येक उपसमुच्चय को क्यों नहीं मापा जाता?
- पसंद के अभिगृहीत का उपयोग करके कोई ऐसे समुच्चय बना सकता है, जैसे विटाली समुच्चय, जिन्हें अनुवाद अपरिवर्तनीयता और गणनीय योज्यता के अनुरूप आकार प्रदान नहीं किया जा सकता है, इसलिए माप एक सिग्मा-बीजगणित तक सीमित है।
- गणनीय योज्यता की क्या भूमिका है?
- गणनीय योज्यता, कि एक गणनीय असंयुक्त संघ का माप मापों का योग है, यही वह है जो मापों को सीमाओं के साथ अच्छी तरह से बातचीत करने की अनुमति देता है और समाकलन के अभिसरण प्रमेयों को संभव बनाता है।