माप सिद्धांत
माप सिद्धांत समुच्चयों के बहुत सामान्य संग्रहों के लिए आकार, लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन और प्रायिकता की एक सुदृढ़ धारणा प्रदान करता है, और उस नींव पर लेबेग समाकल का निर्माण करता है जो आधुनिक विश्लेषण को शक्ति प्रदान करता है।
Definition
माप सिद्धांत गणितीय विश्लेषण की वह शाखा है जो एक समष्टि के उपसमुच्चयों को आकार का एक सुसंगत माप प्रदान करती है और इसका उपयोग समाकलन को परिभाषित करने के लिए करती है, जो एक ही स्वयंसिद्ध ढांचे के भीतर लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन और प्रायिकता का सामान्यीकरण करती है।
Scope
यह क्षेत्र सिग्मा-बीजगणित और मापों, मापने योग्य फलनों, लेबेग माप के निर्माण, लेबेग समाकल और उसके अभिसरण प्रमेयों, Lp समष्टियों, रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के साथ हस्ताक्षरित और जटिल मापों, और फुबिनी-टोनेली प्रमेय के साथ गुणनफल मापों को शामिल करता है।
Sub-topics
Core questions
- अनियमित समुच्चयों सहित समुच्चयों के एक समृद्ध परिवार को आकार की धारणा कैसे सुसंगत रूप से प्रदान की जा सकती है?
- लेबेग समाकल को कैसे परिभाषित किया जाता है, और यह रीमैन समाकल की तुलना में सीमाओं के तहत बेहतर व्यवहार क्यों करता है?
- सीमाओं को समाकल के साथ कब बदला जा सकता है?
- दो मापों की तुलना कैसे की जाती है, और कब एक का घनत्व दूसरे के सापेक्ष होता है?
Key theories
- लेबेग प्रबलित अभिसरण प्रमेय
- यदि समाकलनीय फलन बिंदुवार अभिसरित होते हैं और एक निश्चित समाकलनीय फलन द्वारा समान रूप से परिबद्ध होते हैं, तो उनके समाकल की सीमा, सीमा के समाकल के बराबर होती है, जिससे सीमा और समाकल का वह विनिमय प्राप्त होता है जिसकी रीमैन सिद्धांत में कमी है।
- रेडॉन-निकोडिम प्रमेय
- यदि एक सिग्मा-परिमित माप दूसरे के सापेक्ष पूर्णतः संतत है, तो इसे उस दूसरे माप के सापेक्ष एक घनत्व फलन के समाकल के रूप में लिखा जा सकता है, जो प्रायिकता घनत्व और सशर्त प्रत्याशा की कठोर धारणा प्रदान करता है।
Clinical relevance
माप सिद्धांत आधुनिक प्रायिकता सिद्धांत का अपरिहार्य आधार है, जहाँ माप प्रायिकता वितरण होते हैं और लेबेग समाकल प्रत्याशा होता है; यह Lp और हिल्बर्ट समष्टियों, हार्मोनिक विश्लेषण, एर्गोडिक सिद्धांत, और वित्त और सांख्यिकी में उपयोग की जाने वाली स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के कठोर उपचार के माध्यम से कार्यात्मक विश्लेषण को भी आधार प्रदान करता है।
History
माप सिद्धांत बोरेल के रेखा पर माप के साथ शुरू हुआ और लेबेग द्वारा 1902 के अपने शोध प्रबंध में इसे निर्णायक रूप दिया गया, जिसने आधुनिक समाकल का परिचय दिया। कैराथियोडोरी का बाह्य-माप निर्माण, सामान्य समष्टियों पर मापों पर रेडॉन का कार्य, और कोलमोगोरोव का 1933 का प्रायिकता का स्वयंसिद्धीकरण आज उपयोग किए जाने वाले अमूर्त सिद्धांत को स्थापित करता है।
Key figures
- Henri Lebesgue
- Emile Borel
- Johann Radon
- Constantin Caratheodory
Related topics
Seminal works
- folland1999
Frequently asked questions
- रीमैन समाकल पहले से मौजूद होने पर लेबेग समाकल को क्यों प्रस्तुत किया गया?
- लेबेग समाकल कहीं अधिक फलनों को समाकलित कर सकता है, और इसके अभिसरण प्रमेय हल्की परिकल्पनाओं के तहत सीमाओं और समाकल को बदलने की अनुमति देते हैं, जो विश्लेषण, प्रायिकता और Lp समष्टियों की पूर्णता के लिए आवश्यक है।
- सिग्मा-बीजगणित क्या है?
- सिग्मा-बीजगणित उपसमुच्चयों का वह संग्रह है जिस पर एक माप परिभाषित होता है; यह पूरकों और गणनीय संघों के तहत संवृत होता है, जो गणनीय योज्यता और सीमा संक्रियाओं के लिए आवश्यक संवृत गुणधर्म हैं।