यादृच्छिक चर और वितरण फलन

एक यादृच्छिक चर (random variable) प्रायिकता समष्टि (probability space) से वास्तविक रेखा (real line) तक एक मापने योग्य मानचित्र (measurable map) है, और इसका वितरण फलन (distribution function), वह प्रायिकता है कि चर एक दिए गए स्तर से अधिक नहीं होता है, यह वर्णन करने का सार्वभौमिक तरीका है कि इसके मान कैसे फैले हुए हैं।

Definition

एक यादृच्छिक चर प्रायिकता समष्टि से वास्तविक संख्याओं तक एक मापने योग्य फलन है, और इसका वितरण फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या को उस प्रायिकता से मैप करता है कि चर उसके बराबर या उससे कम मान लेता है।

Scope

इस विषय में वास्तविक और सदिश-मानित यादृच्छिक चरों की मापनीयता (measurability), संचयी वितरण फलन (cumulative distribution function) और इसकी एकदिष्टता (monotonicity), दक्षिण-निरंतरता (right-continuity) और सीमाओं के परिभाषित गुणधर्म, वितरण फलनों और रेखा पर प्रायिकता मापों के बीच पत्राचार (correspondence), घनत्व (densities) और असतत (discrete), पूर्णतः सतत (absolutely continuous) और विलक्षण भागों (singular parts) में लेबेग अपघटन (Lebesgue decomposition), तथा उनके सीमांतों (marginals) के साथ यादृच्छिक सदिशों (random vectors) के संयुक्त वितरण (joint distributions) शामिल हैं।

Core questions

• नमूना समष्टि पर एक फलन के यादृच्छिक चर होने का क्या अर्थ है?
• कौन से गुणधर्म एक संचयी वितरण फलन की विशेषता बताते हैं, और यह वितरण को कैसे निर्धारित करता है?
• किसी वितरण में घनत्व कब होता है, और इसके विकल्प क्या हैं?
• कई यादृच्छिक चरों के संयुक्त और सीमांत वितरण कैसे संबंधित हैं?

Key concepts

• मापने योग्य फलन
• संचयी वितरण फलन
• प्रायिकता घनत्व
• लेबेग अपघटन
• संयुक्त और सीमांत वितरण

Key theories

वितरण फलन पत्राचार

वास्तविक रेखा पर प्रत्येक प्रायिकता माप एक अद्वितीय गैर-घटते, दक्षिण-निरंतर वितरण फलन से मेल खाती है जिसकी सीमाएं शून्य और एक होती हैं, और इसके विपरीत, एक-आयामी वितरणों का एक पूर्ण और ठोस विवरण प्रदान करती है।

वितरण का लेबेग अपघटन

रेखा पर कोई भी वितरण परमाणुओं पर समर्थित एक असतत भाग, घनत्व के साथ एक पूर्णतः सतत भाग, और एक विलक्षण सतत भाग में विशिष्ट रूप से विभाजित होता है, यह स्पष्ट करता है कि प्रायिकता घनत्व कब मौजूद होता है और कब नहीं।

Clinical relevance

वितरण फलन वही हैं जिनका अनुभवजन्य डेटा अनुमान लगाता है और जो सांख्यिकीय मॉडल प्रस्तावित करते हैं; अनुभवजन्य वितरण फलन (empirical distribution function) उपयुक्तता-परीक्षण (goodness-of-fit testing) और बूटस्ट्रैप (bootstrap) का आधार है, वितरण फलन से प्राप्त क्वांटाइल (quantiles) जोखिम-पर-मान (value-at-risk) और संदर्भ श्रेणियों (reference ranges) को परिभाषित करते हैं, और घनत्व अधिकांश संभाव्यता-आधारित अनुमान (likelihood-based inference) में फिट की जाने वाली वस्तुएं हैं।

History

यह पहचान कि एक यादृच्छिक चर केवल एक मापने योग्य फलन है और इसका व्यवहार एक वितरण फलन द्वारा कैप्चर किया जाता है, बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में प्रायिकता के माप-सैद्धांतिक पुनर्गठन (measure-theoretic reformulation) के साथ उभरा, जिसने विशेष वितरणों के पहले के मामले-दर-मामले उपचार को प्रतिस्थापित किया।

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

क्या प्रत्येक यादृच्छिक चर का घनत्व होता है?

नहीं; केवल उन्हीं यादृच्छिक चरों का घनत्व होता है जिनका वितरण पूर्णतः सतत होता है। असतत चर व्यक्तिगत बिंदुओं पर द्रव्यमान रखते हैं, और दुर्लभ विलक्षण सतत वितरणों का कोई घनत्व नहीं होता है, भले ही उनमें कोई परमाणु न हों।

वितरण फलन को 'से कम या बराबर' के बजाय 'सख्ती से कम' के साथ क्यों परिभाषित किया गया है?

'से कम या बराबर' की परंपरा वितरण फलन को दक्षिण-निरंतर बनाती है, जो कि स्वाभाविक विकल्प है जो इसे अंतर्निहित प्रायिकता माप और उसके परमाणुओं के साथ स्पष्ट पत्राचार में रखता है।