प्रायिकता समष्टि और घटनाएँ
एक प्रायिकता समष्टि परिणामों के प्रतिदर्श समष्टि, घटनाओं के सिग्मा-बीजगणित और प्रत्येक घटना को शून्य और एक के बीच एक संख्या निर्दिष्ट करने वाले प्रायिकता माप से मिलकर बना त्रिक है, और यह वह मंच है जिस पर प्रायिकता सिद्धांत की पूरी स्थापना की जाती है।
Definition
एक प्रायिकता समष्टि एक त्रिक है जिसमें एक प्रतिदर्श समष्टि, घटनाओं नामक मापने योग्य उपसमुच्चयों का एक सिग्मा-बीजगणित, और कुल द्रव्यमान एक का एक गणनीय योगात्मक प्रायिकता माप होता है जो प्रत्येक घटना को उसकी प्रायिकता निर्दिष्ट करता है।
Scope
यह विषय प्रतिदर्श समष्टि और घटनाओं के सिग्मा-बीजगणित, उन अभिगृहीतों को शामिल करता है जिन्हें एक प्रायिकता माप को संतुष्ट करना चाहिए, घटनाओं के बढ़ते और घटते अनुक्रमों के साथ प्रायिकता की निरंतरता, कैराथियोडोरी विस्तार के माध्यम से समुच्चय फलनों से मापों का निर्माण, और मानक निर्माण जैसे कि इकाई अंतराल पर लेबेग माप एक विहित प्रायिकता समष्टि के रूप में।
Core questions
- एक परिणाम और एक घटना के बीच क्या अंतर है, और घटनाओं को सिग्मा-बीजगणित क्यों बनाना चाहिए?
- कौन से गुण एक प्रायिकता माप को परिभाषित करते हैं, और वे नीचे और ऊपर से निरंतरता कैसे उत्पन्न करते हैं?
- सरल समुच्चयों पर प्रायिकताओं के विवरण से एक प्रायिकता माप का निर्माण कैसे किया जाता है?
- इकाई अंतराल पर एक समान यादृच्छिक संख्या जैसे परिचित मॉडलों का आधार कौन सा विहित प्रायिकता समष्टि है?
Key concepts
- प्रतिदर्श समष्टि और परिणाम
- घटनाओं का सिग्मा-बीजगणित
- गणनीय योगात्मकता
- प्रायिकता की निरंतरता
- शून्य घटनाएँ और लगभग-निश्चित गुण
Key theories
- प्रायिकता माप के अभिगृहीत
- एक प्रायिकता माप गैर-ऋणात्मक होता है, पूरे प्रतिदर्श समष्टि को प्रायिकता एक निर्दिष्ट करता है, और असंयुक्त घटनाओं पर गणनीय रूप से योगात्मक होता है; ये अभिगृहीत एकदिष्टता, समावेशन-बहिष्करण सूत्र, और घटनाओं के एकदिष्ट अनुक्रमों के साथ निरंतरता को दर्शाते हैं।
- कैराथियोडोरी विस्तार प्रमेय
- एक बीजगणित पर परिभाषित एक गणनीय योगात्मक समुच्चय फलन उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित पर एक माप तक विशिष्ट रूप से विस्तारित होता है, जो एक प्रायिकता माप को सरल घटनाओं पर निर्दिष्ट करने और फिर सभी मापने योग्य घटनाओं तक विस्तारित करने की अनुमति देता है।
Clinical relevance
प्रायिकता-समष्टि औपचारिकता ही है जो यादृच्छिक परिघटनाओं के बारे में कथनों को असंदिग्ध बनाती है; कतारबद्ध प्रणालियों से लेकर सांख्यिकीय अनुमान और जोखिम मॉडलिंग तक प्रत्येक अनुप्रयुक्त प्रायिकता मॉडल, अप्रत्यक्ष रूप से एक प्रायिकता समष्टि और उस पर परिभाषित घटनाओं के बारे में एक दावा है।
History
यद्यपि अनौपचारिक प्रायिकताओं की गणना सदियों से की जाती रही है, प्रायिकता समष्टि की सटीक धारणा को कोलमोगोरोव के 1933 के अभिगृहीतकरण से जोड़ा जा सकता है, जिसने माप सिद्धांत से कैराथियोडोरी के विस्तार तंत्र को उधार लेकर घटनाओं और उनकी प्रायिकताओं को एक कठोर आधार प्रदान किया।
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Constantin Caratheodory
- Emile Borel
Related topics
Seminal works
- kolmogorov1933
Frequently asked questions
- प्रत्येक उपसमुच्चय को प्रायिकताएँ क्यों नहीं निर्दिष्ट की जाती हैं?
- अगणनीय प्रतिदर्श समष्टियों के लिए सभी उपसमुच्चयों पर कोई सुसंगत गणनीय योगात्मक प्रायिकता परिभाषित नहीं की जा सकती है, इसलिए प्रायिकताएँ मापने योग्य घटनाओं के सिग्मा-बीजगणित तक सीमित होती हैं, जिसमें अभी भी व्यावहारिक रुचि की प्रत्येक घटना शामिल होती है।
- लगभग निश्चित रूप से का क्या अर्थ है?
- एक घटना लगभग निश्चित रूप से घटित होती है यदि उसके पूरक की प्रायिकता शून्य हो; ऐसी शून्य घटनाओं को प्रायिकताओं और अपेक्षाओं की गणना के उद्देश्य से अनदेखा किया जा सकता है, भले ही वे शाब्दिक रूप से असंभव न हों।