सशर्त प्रत्याशा एक संख्या के बजाय एक यादृच्छिक चर क्यों है?

क्योंकि इसे कंडीशनिंग जानकारी की प्रत्येक संभावित स्थिति के लिए अनुमानित मान को एन्कोड करना चाहिए; जैसे-जैसे वह जानकारी नमूना स्थान पर बदलती है, अनुमानित मान बदलता रहता है, जिससे सशर्त प्रत्याशा कंडीशनिंग सिग्मा-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य एक फलन बन जाती है।

एक सिग्मा-बीजगणित पर कंडीशनिंग एक घटना पर कंडीशनिंग को कैसे सामान्यीकृत करती है?

सकारात्मक प्रायिकता की एक घटना पर कंडीशनिंग वह विशेष मामला है जहाँ उप-सिग्मा-बीजगणित उस घटना और उसके पूरक द्वारा उत्पन्न होता है; सामान्य परिभाषा इसे ऐसी जानकारी तक विस्तारित करती है जिसे किसी एक सकारात्मक-प्रायिकता घटना द्वारा कैप्चर नहीं किया जा सकता है।

सशर्त प्रत्याशा (Conditional Expectation)

सशर्त प्रत्याशा एक यादृच्छिक चर (random variable) का सर्वोत्तम पूर्वानुमान है, जो एक उप-सिग्मा-बीजगणित (sub-sigma-algebra) में निहित जानकारी को देखते हुए दिया जाता है। इसे रेडॉन-निकोडिम प्रमेय (Radon-Nikodym theorem) के माध्यम से अमूर्त रूप से परिभाषित किया गया है और यह एक औसत प्रक्षेपण (averaging projection) की तरह व्यवहार करता है जो उपलब्ध जानकारी का सम्मान करता है।

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Definition

एक उप-सिग्मा-बीजगणित को देखते हुए एक समाकलनीय यादृच्छिक चर (integrable random variable) की सशर्त प्रत्याशा अद्वितीय, लगभग-निश्चित समानता तक, समाकलनीय फलन है जो उस उप-सिग्मा-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य है और इसमें प्रत्येक समुच्चय पर मूल चर के समान समाकल (integral) है।

Scope

यह विषय एक उप-सिग्मा-बीजगणित को देखते हुए सशर्त प्रत्याशा की परिभाषा, रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के माध्यम से इसका अस्तित्व और लगभग-निश्चित अद्वितीयता (almost-sure uniqueness), टावर (tower), ज्ञात को बाहर निकालना (taking-out-what-is-known), और सशर्त-जेन्सेन (conditional-Jensen) गुण, वर्ग-अभिन्न चर (square-integrable variables) के स्थान में एक लांबिक प्रक्षेपण (orthogonal projection) के रूप में व्याख्या, सशर्त प्रायिकता (conditional probability) और नियमित सशर्त वितरण (regular conditional distributions), और मार्टिंगेल (martingales) तथा बायेसियन अद्यतन (Bayesian updating) के इंजन के रूप में कंडीशनिंग (conditioning) की भूमिका को शामिल करता है।

Core questions

प्रत्याशा को ऐसी जानकारी पर कैसे सशर्त किया जा सकता है जिसमें शून्य प्रायिकता की घटनाएँ शामिल हो सकती हैं?
सशर्त प्रत्याशा लगभग-निश्चित शून्य समुच्चय तक ही अद्वितीय क्यों है?
किस अर्थ में सशर्त प्रत्याशा एक यादृच्छिक चर का सर्वोत्तम भविष्यवक्ता है?
टावर और पुल-आउट गुण सशर्त प्रत्याशा को कैसे सुगम बनाते हैं?

Key concepts

कंडीशनिंग सिग्मा-बीजगणित
रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न
टावर गुण
न्यूनतम-वर्ग प्रक्षेपण
नियमित सशर्त वितरण

Key theories

रेडॉन-निकोडिम के माध्यम से अस्तित्व: सशर्त प्रत्याशा मौजूद है क्योंकि उप-सिग्मा-बीजगणित के समुच्चयों पर यादृच्छिक चर को समाकलित करके प्राप्त माप प्रतिबंधित प्रायिकता माप के संबंध में पूर्णतः सतत (absolutely continuous) है, और इसका रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न सशर्त प्रत्याशा है।
टावर गुण: एक महीन सिग्मा-बीजगणित पर कंडीशनिंग के बाद एक मोटे सिग्मा-बीजगणित पर कंडीशनिंग करने से मोटा सशर्त प्रत्याशा प्राप्त होता है, इसलिए पुनरावृत्त कंडीशनिंग सबसे मोटे स्तर तक गिर जाती है; यह स्मूथिंग पहचान मार्टिंगेल सिद्धांत और फिल्टरिंग के लिए मौलिक है।
प्रक्षेपण लक्षण वर्णन: वर्ग-समाकलनीय चर के लिए, सशर्त प्रत्याशा कंडीशनिंग सिग्मा-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य चर के उप-स्थान पर लांबिक प्रक्षेपण है, जो इसे उपलब्ध जानकारी को देखते हुए न्यूनतम-वर्ग-इष्टतम भविष्यवक्ता बनाता है।

Clinical relevance

सशर्त प्रत्याशा अनिश्चितता के तहत पूर्वानुमान और अद्यतन का औपचारिक आधार है: यह मार्टिंगेल को परिभाषित करता है, कलमन फिल्टर (Kalman filter) और अरेखीय फिल्टरिंग (nonlinear filtering) का आधार है, बायेसियन पश्च माध्य (Bayesian posterior means) को व्यक्त करता है, और जोखिम-तटस्थ माप (risk-neutral measure) के तहत एक सशर्त प्रत्याशा के रूप में एक आकस्मिक दावे (contingent claim) का कोई-मध्यस्थता मूल्य (no-arbitrage price) देता है।

History

कोलमोगोरोव (Kolmogorov) ने 1933 में एक सिग्मा-बीजगणित के संबंध में सशर्त प्रत्याशा की सामान्य परिभाषा प्रस्तुत की, इसे रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में लंगर डालकर शून्य घटनाओं पर कंडीशनिंग के विरोधाभासों को हल किया; ड्यूब (Doob) ने तब इसे मार्टिंगेल सिद्धांत का आधार बनाया।

Key figures

Andrey Kolmogorov
Joseph L. Doob
Johann Radon
Otton Nikodym

Seminal works

williams1991

Frequently asked questions

सशर्त प्रत्याशा एक संख्या के बजाय एक यादृच्छिक चर क्यों है?: क्योंकि इसे कंडीशनिंग जानकारी की प्रत्येक संभावित स्थिति के लिए अनुमानित मान को एन्कोड करना चाहिए; जैसे-जैसे वह जानकारी नमूना स्थान पर बदलती है, अनुमानित मान बदलता रहता है, जिससे सशर्त प्रत्याशा कंडीशनिंग सिग्मा-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य एक फलन बन जाती है।
एक सिग्मा-बीजगणित पर कंडीशनिंग एक घटना पर कंडीशनिंग को कैसे सामान्यीकृत करती है?: सकारात्मक प्रायिकता की एक घटना पर कंडीशनिंग वह विशेष मामला है जहाँ उप-सिग्मा-बीजगणित उस घटना और उसके पूरक द्वारा उत्पन्न होता है; सामान्य परिभाषा इसे ऐसी जानकारी तक विस्तारित करती है जिसे किसी एक सकारात्मक-प्रायिकता घटना द्वारा कैप्चर नहीं किया जा सकता है।