एसिम्प्टोटिक सिद्धांत
एसिम्प्टोटिक सिद्धांत यह अध्ययन करता है कि अनुमानक और परीक्षण कैसे व्यवहार करते हैं जब नमूने का आकार असीमित रूप से बढ़ता है, जिससे अनुमानित वितरणों के जटिल होने पर सुलभ सन्निकटन प्राप्त होते हैं।
Definition
एसिम्प्टोटिक सिद्धांत गणितीय सांख्यिकी का वह हिस्सा है जो नमूने के आकार के अनंत की ओर बढ़ने पर सांख्यिकीय प्रक्रियाओं के लिए सीमित वितरण और सन्निकटन प्राप्त करता है, और उनका उपयोग उन प्रक्रियाओं की तुलना और औचित्य सिद्ध करने के लिए करता है।
Scope
यह क्षेत्र अभिसरण के तरीकों और सतत मानचित्रण और स्लटस्की प्रमेयों, अनुमानकों की संगति, एसिम्प्टोटिक सामान्यता और डेल्टा विधि, एम- और जेड-अनुमान को अधिकतमकरण या अनुमानित समीकरणों द्वारा परिभाषित अनुमानकों के लिए एक एकीकृत ढांचे के रूप में, अनुभवजन्य-प्रक्रिया सिद्धांत और फलन वर्गों पर एकसमान नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय, संस्पर्शिता (contiguity), स्थानीय एसिम्प्टोटिक सामान्यता, और कनवोल्यूशन और स्थानीय-एसिम्प्टोटिक-मिनिमैक्स प्रमेयों को शामिल करता है जो एसिम्प्टोटिक दक्षता को परिभाषित करते हैं।
Sub-topics
Core questions
- एक अनुमानक के सुसंगत और एसिम्प्टोटिक रूप से सामान्य होने का क्या अर्थ है?
- डेल्टा विधि चिकने परिवर्तनों के माध्यम से एसिम्प्टोटिक सामान्यता को कैसे प्रसारित करती है?
- एम-अनुमान अधिकतम संभावना, न्यूनतम वर्ग और सुदृढ़ अनुमानकों को कैसे एकीकृत करता है?
- एसिम्प्टोटिक दक्षता क्या है, और ले कैम का सिद्धांत सर्वोत्तम सीमित विचरण को कैसे दर्शाता है?
Key theories
- संगति और एसिम्प्टोटिक सामान्यता
- नियमितता के तहत, अनुमानक वास्तविक पैरामीटर के लिए संभाव्यता में अभिसरण करते हैं और, नमूना आकार के वर्गमूल द्वारा पुनः-मापित होने पर, एक सामान्य वितरण में अभिसरण करते हैं, जो मानक त्रुटियों और वाल्ड विश्वास अंतरालों को उचित ठहराता है।
- एम-अनुमान और अनुभवजन्य प्रक्रियाएं
- नमूना मानदंड को अधिकतम करने वाले या अनुमानित समीकरणों को हल करने वाले अनुमानकों का अनुभवजन्य-प्रक्रिया सिद्धांत के माध्यम से समान रूप से विश्लेषण किया जाता है, जो एकसमान बड़े संख्याओं के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय प्रदान करता है जिनकी तर्कों को आवश्यकता होती है।
- स्थानीय एसिम्प्टोटिक सामान्यता और दक्षता
- ले कैम की स्थानीय एसिम्प्टोटिक सामान्यता सत्य के पास एक चिकने मॉडल को एक सामान्य प्रयोग में कम कर देती है; कनवोल्यूशन और स्थानीय-एसिम्प्टोटिक-मिनिमैक्स प्रमेय तब सर्वोत्तम प्राप्य एसिम्प्टोटिक विचरण को परिभाषित करते हैं।
Clinical relevance
एसिम्प्टोटिक सन्निकटन मानक त्रुटियाँ, वाल्ड और संभावना-अनुपात विश्वास अंतराल, और बड़े-नमूना परीक्षण प्रदान करते हैं जो अनिवार्य रूप से सभी सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर द्वारा रिपोर्ट किए जाते हैं, इसलिए विज्ञान में नियमित अनुमान की वैधता इन सीमा प्रमेयों के अच्छे सन्निकटन पर निर्भर करती है।
History
शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय पर आधारित होकर, ले कैम ने 1950 के दशक से संस्पर्शिता (contiguity), स्थानीय एसिम्प्टोटिक सामान्यता और एसिम्प्टोटिक दक्षता के सिद्धांत को विकसित किया। हाजेक का कनवोल्यूशन प्रमेय और बीसवीं सदी के अंत का अनुभवजन्य-प्रक्रिया कार्यक्रम, जिसे वैन डेर वार्ट द्वारा संश्लेषित किया गया, ने आधुनिक ढांचे को पूरा किया।
Key figures
- Lucien Le Cam
- Aad van der Vaart
- Jaroslav Hajek
- Peter J. Bickel
Related topics
Seminal works
- vanderVaart1998
Frequently asked questions
- सटीक वितरणों के बजाय एसिम्प्टोटिक्स पर क्यों निर्भर करें?
- सटीक परिमित-नमूना वितरण आमतौर पर अज्ञात या जटिल होते हैं, जबकि सीमित सामान्य और काई-वर्ग सन्निकटन सरल, व्यापक रूप से लागू और मध्यम नमूना आकारों के लिए सटीक होते हैं।
- एसिम्प्टोटिक्स लागू होने के लिए नमूना कितना बड़ा होना चाहिए?
- इसका कोई सार्वभौमिक उत्तर नहीं है; यह मॉडल, पैरामीटर और डेटा की विषमता पर निर्भर करता है। सन्निकटन कुछ दर्जन अवलोकनों के लिए उत्कृष्ट हो सकते हैं या सीमा के पास सैकड़ों के लिए खराब हो सकते हैं, यही कारण है कि रीसैंपलिंग जांच आम हैं।