विषम और संयुक्त पॉइसन प्रक्रियाएँ
पॉइसन प्रक्रिया का सामान्यीकरण करते हुए, एक विषम संस्करण घटना दर को समय या स्थान के साथ बदलने की अनुमति देता है, जबकि एक संयुक्त संस्करण प्रत्येक घटना के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक आकार संलग्न करता है।
Definition
एक विषम पॉइसन प्रक्रिया स्वतंत्र वृद्धियों वाली एक गणना प्रक्रिया है जिसकी किसी क्षेत्र में गणना पॉइसन वितरित होती है जिसका माध्य एक गैर-स्थिर तीव्रता के समाकल द्वारा दिया जाता है, और एक संयुक्त पॉइसन प्रक्रिया पॉइसन प्रक्रिया की घटनाओं पर होने वाली स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक छलांगों का योग है।
Scope
यह विषय एक विषम पॉइसन प्रक्रिया को शामिल करता है जिसे एक भिन्न तीव्रता फ़ंक्शन और संचयी माध्य माप द्वारा परिभाषित किया गया है, समय-परिवर्तन जो इसे एक मानक पॉइसन प्रक्रिया में मैप करता है, पॉइसन घटना समय पर स्वतंत्र चिह्नों को जोड़कर गठित संयुक्त पॉइसन प्रक्रिया, इसका माध्य, विचरण और विशेषता फ़ंक्शन, और बीमा जोखिम और शॉट शोर के अनुप्रयोग।
Core questions
- एक भिन्न तीव्रता फ़ंक्शन स्थिर-दर प्रक्रिया को कैसे सामान्यीकृत करता है?
- समय परिवर्तन द्वारा एक विषम प्रक्रिया को एक सजातीय प्रक्रिया में कैसे बदला जा सकता है?
- एक संयुक्त पॉइसन योग का माध्य और विचरण कैसे परिकलित किया जाता है?
- ये प्रक्रियाएँ बीमा दावों और शॉट शोर को कैसे मॉडल करती हैं?
Key theories
- मानक पॉइसन में समय-परिवर्तन
- संचयी तीव्रता फ़ंक्शन द्वारा समय को फिर से स्केल करने से एक विषम पॉइसन प्रक्रिया एक मानक दर-एक पॉइसन प्रक्रिया में बदल जाती है, जो विषम प्रक्रिया को चिह्नित करती है और व्युत्क्रमण या थिनिंग द्वारा एक सिमुलेशन विधि प्रदान करती है।
- संयुक्त पॉइसन वितरण
- पॉइसन-वितरित संख्या में स्वतंत्र छलांगों के योग का माध्य और विचरण छलांग वितरण के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, और इसका विशेषता फ़ंक्शन दर का घातांक होता है जो छलांग विशेषता फ़ंक्शन माइनस एक से गुणा होता है, जो इसे असीम रूप से विभाज्य नियमों से जोड़ता है।
Clinical relevance
विषम पॉइसन प्रक्रियाएँ समय-भिन्न आगमन दरों जैसे दैनिक यातायात या मौसमी बीमारी की घटनाओं को मॉडल करती हैं, जबकि संयुक्त पॉइसन प्रक्रियाएँ क्रैमर-लुंडबर्ग जोखिम सिद्धांत में कुल बीमा दावों और भौतिकी और सिग्नल प्रोसेसिंग में शॉट शोर का शास्त्रीय मॉडल हैं।
History
लुंडबर्ग ने 1903 में संयुक्त पॉइसन जोखिम मॉडल पेश किया और क्रैमर ने 1930 के दशक में इसके विनाश सिद्धांत को विकसित किया, जबकि विषम पॉइसन प्रक्रियाएँ और उनका थिनिंग-आधारित सिमुलेशन, जिसे 1979 में लुईस और शेडलर द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, समय-भिन्न घटना दरों के मॉडलिंग के लिए मानक उपकरण बन गए।
Key figures
- Filip Lundberg
- Harald Cramer
- John Kingman
Related topics
Seminal works
- kingman1993
Frequently asked questions
- विषम और संयुक्त पॉइसन प्रक्रियाओं में क्या अंतर है?
- एक विषम प्रक्रिया इकाई छलांग रखती है लेकिन घटना दर को समय या स्थान में बदलने देती है, जबकि एक संयुक्त प्रक्रिया पॉइसन संख्या में घटनाएँ रखती है लेकिन प्रत्येक को एक यादृच्छिक आकार देती है।
- बीमा में एक संयुक्त पॉइसन प्रक्रिया का उपयोग कैसे किया जाता है?
- यह कुल दावों को स्वतंत्र दावा राशियों की पॉइसन संख्या के रूप में मॉडल करता है; परिणामी कुल शास्त्रीय विनाश सिद्धांत का आधार है, जो इस संभावना का अध्ययन करता है कि संचित दावे भंडार से अधिक हो जाते हैं।