विचरण का कलन साधारण कलन से कैसे भिन्न है?

साधारण कलन उन बिंदुओं को खोजता है जहाँ एक फलन सबसे बड़ा या सबसे छोटा होता है, जबकि विचरण का कलन पूरे फलनों, जैसे वक्रों या सतहों को खोजता है, जो एक समाकल को चरम पर पहुँचाते हैं। अज्ञात एक संख्या के बजाय एक फलन होता है, और एक चरम के लिए शर्त एक अवकल समीकरण होती है।

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत क्या है?

यह भौतिक कथन है कि एक प्रणाली की गति क्रिया नामक एक मात्रा को स्थिर बनाती है। क्रिया पर विचरण के कलन को लागू करने से गति के समीकरण प्राप्त होते हैं, इसलिए शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी का अधिकांश भाग एक ही विचरण संबंधी सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है।

विचरण का कलन (Calculus of Variations)

विचरण का कलन उन फलनों की तलाश करता है जो समाकल फलनात्मक (integral functionals) को चरम पर पहुँचाते हैं, जो साधारण अधिकतमकरण और न्यूनतमकरण को बिंदुओं से वक्रों और क्षेत्रों तक सामान्यीकृत करता है।

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Definition

विचरण का कलन फलनात्मक (functionals) का अध्ययन करता है, जो फलनों को संख्याएँ प्रदान करते हैं, और उन फलनों की तलाश करता है जिन पर एक फलनात्मक स्थिर होता है या सीमा और पार्श्व शर्तों के अधीन एक चरम मान प्राप्त करता है।

Scope

यह क्षेत्र एक चरम के लिए आवश्यक शर्तों के रूप में यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की व्युत्पत्ति, बाधाओं और मुक्त सीमाओं के साथ विचरण संबंधी समस्याएं, न्यूनतम के लिए द्वितीय-विचरण और उत्तलता की शर्तें, न्यूनतमकों के अस्तित्व को स्थापित करने की प्रत्यक्ष विधि, और हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इष्टतम नियंत्रण से संबंध को शामिल करता है।

Sub-topics

Core questions

कौन से फलन दिए गए समाकल फलनात्मक को स्थिर बनाते हैं?
एक न्यूनतमक की पहचान करने के लिए कौन सी आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं?
एक न्यूनतमक वास्तव में कब मौजूद होता है?
विचरण संबंधी सिद्धांत भौतिकी के नियमों को कैसे एन्कोड करते हैं?

Key theories

यूलर-लैग्रेंज समीकरण: एक फलन जो एक समाकल फलनात्मक को चरम पर पहुँचाता है, उसे यूलर-लैग्रेंज अवकल समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, जो एक व्युत्पन्न को शून्य पर सेट करने का विचरण संबंधी अनुरूप है।
प्रत्यक्ष विधि: एक न्यूनतमक का अस्तित्व एक न्यूनतम अनुक्रम लेकर और सघनता (compactness) और निम्न अर्ध-निरंतरता (lower semicontinuity) का उपयोग करके स्थापित किया जाता है, जो यूलर-लैग्रेंज समीकरण के स्पष्ट समाधान को दरकिनार करता है।
भौतिकी में विचरण संबंधी सिद्धांत: स्थिर क्रिया का हैमिल्टन का सिद्धांत यांत्रिकी और क्षेत्र सिद्धांत को विचरण संबंधी समस्याओं के रूप में पुनर्गठित करता है, जो विचरण के कलन के माध्यम से उनके शासी समीकरणों को एकीकृत करता है।

Clinical relevance

विचरण संबंधी विधियाँ न्यूनतम-क्रिया और न्यूनतम-ऊर्जा सिद्धांतों के माध्यम से भौतिकी में मौलिक नियमों को व्यक्त करती हैं, और वे इष्टतम नियंत्रण, न्यूनतम सतहों और भूगणित की ज्यामिति, छवि प्रसंस्करण, और इंजीनियरिंग में परिमित-तत्व विधि का आधार बनती हैं।

History

यह विषय 1696 में जोहान बर्नौली द्वारा प्रस्तुत ब्रेकिस्टोक्रोन समस्या से शुरू हुआ। यूलर और लैग्रेंज ने अठारहवीं शताब्दी में सामान्य सिद्धांत और यूलर-लैग्रेंज समीकरण विकसित किए, हैमिल्टन ने यांत्रिकी को विचरण संबंधी रूप से पुनर्गठित किया, और हिल्बर्ट की बीसवीं सदी की प्रत्यक्ष विधि और उनकी तेईसवीं समस्या ने अस्तित्व सिद्धांत को पुनर्जीवित किया।

Key figures

Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
William Rowan Hamilton
David Hilbert

Seminal works

gelfand1963
courant1953
dacorogna2008

Frequently asked questions

विचरण का कलन साधारण कलन से कैसे भिन्न है?: साधारण कलन उन बिंदुओं को खोजता है जहाँ एक फलन सबसे बड़ा या सबसे छोटा होता है, जबकि विचरण का कलन पूरे फलनों, जैसे वक्रों या सतहों को खोजता है, जो एक समाकल को चरम पर पहुँचाते हैं। अज्ञात एक संख्या के बजाय एक फलन होता है, और एक चरम के लिए शर्त एक अवकल समीकरण होती है।
न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत क्या है?: यह भौतिक कथन है कि एक प्रणाली की गति क्रिया नामक एक मात्रा को स्थिर बनाती है। क्रिया पर विचरण के कलन को लागू करने से गति के समीकरण प्राप्त होते हैं, इसलिए शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी का अधिकांश भाग एक ही विचरण संबंधी सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है।