लैग्रेंजियन यांत्रिकी
लैग्रेंजियन यांत्रिकी ऊर्जा और एक एकल अदिश फलन, लैग्रेंजियन, के संदर्भ में शास्त्रीय गतिकी को पुनर्गठित करती है, जिसमें गति के समीकरणों को इस सिद्धांत से व्युत्पन्न किया जाता है कि क्रिया स्थिर है।
Definition
लैग्रेंजियन यांत्रिकी शास्त्रीय यांत्रिकी का वह सूत्रीकरण है जिसमें एक प्रणाली की गतिकी को क्रिया, लैग्रेंजियन L = T − V का समय समाकल, को स्थिर रखने की आवश्यकता द्वारा प्राप्त किया जाता है, जिससे गति के यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्राप्त होते हैं।
Scope
यह क्षेत्र विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के परिवर्तनशील आधार को शामिल करता है: न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत, यूलर-लैग्रेंज समीकरण, बाधाओं को सुरुचिपूर्ण ढंग से संभालने के लिए सामान्यीकृत निर्देशांक का उपयोग, और नोएथर के प्रमेय द्वारा व्यक्त निरंतर समरूपताओं और संरक्षण कानूनों के बीच गहरा संबंध। यह एक निर्देशांक-स्वतंत्र ढाँचा प्रदान करता है जो बिंदु कणों से कहीं अधिक सामान्यीकृत होता है।
Sub-topics
Core questions
- गति के समीकरणों को एक एकल अदिश फलन और एक परिवर्तनशील सिद्धांत से कैसे व्युत्पन्न किया जा सकता है?
- बाधित प्रणालियों के लिए कार्टेशियन बलों की तुलना में सामान्यीकृत निर्देशांक एक अधिक शक्तिशाली विवरण क्यों हैं?
- एक प्रणाली की समरूपताओं और उसकी संरक्षित मात्राओं के बीच सटीक संबंध क्या है?
Key concepts
- लैग्रेंजियन L = T − V
- क्रिया समाकल
- सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग
- होलोनोमिक बाधाएँ
- चक्रीय निर्देशांक और संरक्षित संवेग
- निरंतर समरूपता
Key theories
- न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत (हैमिल्टन का सिद्धांत)
- दो विन्यासों के बीच एक प्रणाली का वास्तविक पथ क्रिया समाकल को स्थिर बनाता है, जिससे यांत्रिकी के सभी सिद्धांतों को बलों के संदर्भ के बिना व्युत्पन्न किया जा सकता है।
- यूलर-लैग्रेंज समीकरण
- क्रिया को स्थिर रखने की आवश्यकता से दूसरे क्रम के अवकल समीकरणों का एक सेट प्राप्त होता है, प्रति सामान्यीकृत निर्देशांक एक, जो न्यूटन के नियमों के समतुल्य हैं लेकिन निर्देशांक-स्वतंत्र हैं।
- नोएथर का प्रमेय
- क्रिया की प्रत्येक निरंतर समरूपता एक संरक्षित मात्रा से मेल खाती है, इसलिए समय अनुवाद, स्थानिक अनुवाद और घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीयता ऊर्जा, संवेग और कोणीय संवेग का संरक्षण देती है।
Clinical relevance
लैग्रेंजियन विधि रोबोटिक्स, मल्टीबॉडी और वाहन गतिकी, नियंत्रण सिद्धांत, और बाधित यांत्रिक प्रणालियों में गति के समीकरणों को व्युत्पन्न करने के लिए एक कार्यशील उपकरण है, और इसकी परिवर्तनशील संरचना सीधे क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी में जाती है।
History
लैग्रेंज ने अपने 1788 के 'मैकेनिक एनालिटिक' (Mécanique analytique) में विश्लेषणात्मक यांत्रिकी को समेकित किया, जिसमें न्यूनतम क्रिया पर यूलर और मौपर्टुइस के पिछले काम पर निर्मित बीजगणितीय परिवर्तनशील विधियों के पक्ष में ज्यामितीय आरेखों को समाप्त कर दिया गया। हैमिल्टन ने 1830 के दशक में इस सिद्धांत को इसके आधुनिक स्थिर-क्रिया रूप में फिर से ढाला, और एमी नोएथर के 1918 के प्रमेय ने संरक्षण कानूनों के गहरे समरूपता मूल का खुलासा किया।
Key figures
- Joseph-Louis Lagrange
- Leonhard Euler
- William Rowan Hamilton
- Emmy Noether
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- landau1976
- arnold1989
Frequently asked questions
- क्या लैग्रेंजियन यांत्रिकी न्यूटनियन यांत्रिकी से अधिक शक्तिशाली है?
- वे उन प्रणालियों के लिए भौतिक रूप से समतुल्य हैं जिनका वे वर्णन करते हैं, लेकिन लैग्रेंजियन सूत्रीकरण अक्सर कहीं अधिक सुविधाजनक होता है: यह अदिश ऊर्जाओं का उपयोग करता है, सामान्यीकृत निर्देशांक के माध्यम से बाधाओं को स्वचालित रूप से संभालता है, और स्वाभाविक रूप से क्षेत्रों और क्वांटम सिद्धांत तक सामान्यीकृत होता है।
- क्या 'न्यूनतम क्रिया' का अर्थ है कि क्रिया हमेशा न्यूनतम होती है?
- सख्ती से नहीं। क्रिया भौतिक पथ के साथ स्थिर होती है, जो आमतौर पर छोटे पथों के लिए न्यूनतम होती है लेकिन एक सैडल बिंदु हो सकती है; सटीक कथन यह है कि इसका पहला विचरण शून्य हो जाता है।