न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत बताता है कि दो विन्यासों के बीच एक प्रणाली जिस भौतिक पथ का अनुसरण करती है, वह वह है जिसके लिए क्रिया समाकल (action integral) स्थिर रहता है।

Definition

न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत यह दावा है कि एक यांत्रिक प्रणाली उस प्रक्षेपवक्र (trajectory) के साथ विकसित होती है जिसके लिए क्रिया (action), जो समय के साथ लैग्रेंजियन का समाकल है, पथ के छोटे बदलावों के तहत स्थिर रहती है, जबकि अंतिम बिंदु निश्चित रहते हैं।

Scope

यह विषय लैग्रेंजियन (Lagrangian) के समय समाकल (time integral) के रूप में क्रिया कार्यात्मक (action functional), हैमिल्टन का स्थिर क्रिया का सिद्धांत (Hamilton's principle of stationary action), भौतिक पथों को निकालने के लिए उपयोग की जाने वाली विविधताओं का कलन (calculus of variations), और पुराने मॉपरटुइस (Maupertuis) (संक्षिप्त क्रिया) सिद्धांत तथा हैमिल्टन के सिद्धांत के बीच के अंतर को शामिल करता है। यह इस बात को प्रेरित करता है कि कैसे एक एकल परिवर्तनशील कथन यांत्रिकी के पूरे सिद्धांत को समाहित कर सकता है।

Core questions

• क्रिया क्या है, और इसके स्थिर होने का क्या अर्थ है?
• हैमिल्टन का सिद्धांत न्यूनतम क्रिया के पुराने मॉपरटुइस सिद्धांत से कैसे भिन्न है?
• एकल परिवर्तनशील सिद्धांत न्यूटोनियन गतिशीलता के सभी नियमों को क्यों पुनरुत्पादित कर सकता है?

Key concepts

• क्रिया कार्यात्मक (Action functional)
• विविधताओं का कलन (Calculus of variations)
• स्थिर (चरम) पथ (Stationary (extremal) path)
• अंतिम बिंदु (सीमा) स्थितियाँ (Endpoint (boundary) conditions)
• संक्षिप्त क्रिया (Abbreviated action)

Key theories

हैमिल्टन का सिद्धांत

विन्यास स्थान में निश्चित अंतिम बिंदुओं वाले सभी पथों में से, भौतिक गति वह है जिसका क्रिया समाकल शून्य प्रथम भिन्नता (first variation) रखता है, जिससे क्रिया स्थिर हो जाती है।

मॉपरटुइस संक्षिप्त-क्रिया सिद्धांत

एक प्रारंभिक परिवर्तनशील रूप ऊर्जा को स्थिर रखता है और विन्यास स्थान में पथ पर संक्षिप्त क्रिया को स्थिर बनाता है, जो उपयुक्त परिस्थितियों में हैमिल्टन के सिद्धांत के समतुल्य है।

Clinical relevance

क्रिया सिद्धांत शास्त्रीय से आधुनिक भौतिकी तक एक वैचारिक सेतु है: यह सापेक्षतावादी क्षेत्र सिद्धांत (relativistic field theory) तक सामान्यीकृत होता है और क्वांटम यांत्रिकी के फेनमैन के पथ-समाकल सूत्रीकरण (Feynman's path-integral formulation) का आधार प्रदान करता है, जहाँ प्रत्येक पथ क्रिया द्वारा भारित योगदान देता है।

History

मॉपरटुइस ने 1740 के दशक में आध्यात्मिक आधार पर न्यूनतम क्रिया के सिद्धांत का प्रस्ताव रखा, जिसे यूलर और लैग्रेंज ने विविधताओं के कलन के माध्यम से एक ठोस गणितीय आधार पर स्थापित किया। हैमिल्टन ने इसे 1830 के दशक में समय के साथ स्थिर क्रिया के आधुनिक सिद्धांत के रूप में पुनर्गठित किया, जो लैग्रेंजियन और हैमिल्टनियन यांत्रिकी दोनों के लिए एकीकृत प्रारंभिक बिंदु बन गया।

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

क्या क्रिया वास्तव में न्यूनतम होती है?

अक्सर, लेकिन हमेशा नहीं। परिभाषित शर्त यह है कि क्रिया स्थिर होती है, जिसका अर्थ है कि इसकी पहली भिन्नता शून्य हो जाती है; पर्याप्त लंबे पथों के लिए स्थिर बिंदु न्यूनतम के बजाय एक सैडल (saddle) हो सकता है।

यह सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी से कैसे संबंधित है?

फेनमैन के पथ समाकल में, एक क्वांटम आयाम क्रिया के घातांक द्वारा भारित सभी पथों से योगदानों को जोड़ता है; शास्त्रीय न्यूनतम-क्रिया पथ वहाँ उभरता है जहाँ आस-पास के योगदान रचनात्मक रूप से जुड़ते हैं।