यूलर-लैग्रेंज समीकरण केवल एक आवश्यक शर्त क्यों है?

यह उन फलनों की पहचान करता है जहाँ फलनक स्थिर होता है, जो एक क्रांतिक बिंदु के अनुरूप है, लेकिन ऐसा बिंदु न्यूनतम, अधिकतम या दोनों में से कोई भी नहीं हो सकता है। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा है, द्वितीय विचरण की जांच करना या उत्तलता या प्रत्यक्ष-विधि तर्कों को लागू करना आवश्यक है।

प्राकृतिक सीमा शर्त क्या है?

जब प्रतिस्पर्धी फलनों के अंतिम बिंदु निश्चित नहीं होते हैं, तो प्रथम विचरण को शून्य करने की आवश्यकता उन अंतिम बिंदुओं पर एक अतिरिक्त शर्त को मजबूर करती है, जो सीमा पदों से व्युत्पन्न होती है। ये प्राकृतिक सीमा शर्तें विचरण सिद्धांत से स्वचालित रूप से उभरती हैं बजाय इसके कि उन्हें थोपा जाए।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण

यूलर-लैग्रेंज समीकरण वह अवकल समीकरण है जिसे किसी समाकल फलनक (integral functional) को चरम पर पहुँचाने वाले किसी भी फलन को संतुष्ट करना चाहिए, जो विचरण कलन (calculus of variations) की केंद्रीय आवश्यक शर्त है।

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Definition

एक फलन और उसके व्युत्पन्न पर निर्भर लैग्रेंजियन के समाकल द्वारा दिए गए एक फलनक के लिए, यूलर-लैग्रेंज समीकरण बताता है कि फलन के संबंध में लैग्रेंजियन का आंशिक व्युत्पन्न, फलन के व्युत्पन्न के संबंध में उसके आंशिक व्युत्पन्न के स्वतंत्र चर के संबंध में व्युत्पन्न के बराबर होता है।

Scope

यह विषय एक फलनक के प्रथम विचरण और उसकी शून्य होने की स्थिति, यूलर-लैग्रेंज समीकरण की व्युत्पत्ति, विचरण कलन का मौलिक लेम्मा, प्राकृतिक और आवश्यक सीमा शर्तें, बेल्ट्रामी पहचान जैसे प्रथम समाकल, और कई फलनों, उच्च व्युत्पन्नों तथा बहु समाकलों के लिए सामान्यीकरण को शामिल करता है।

Core questions

एक फलनक के चरम को किस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए?
प्रथम विचरण से शर्त कैसे व्युत्पन्न की जाती है?
समीकरण के साथ कौन सी सीमा शर्तें आती हैं?
प्रथम समाकल परिणामी समीकरण को कब सरल करते हैं?

Key theories

प्रथम विचरण और स्थिरता: सभी स्वीकार्य विक्षोभों के लिए एक फलनक के प्रथम विचरण को शून्य पर सेट करना, विचरण कलन के मौलिक लेम्मा के साथ मिलकर, यूलर-लैग्रेंज समीकरण उत्पन्न करता है।
प्राकृतिक सीमा शर्तें: जब अंतिम बिंदु निश्चित होने के बजाय मुक्त होते हैं, तो शून्य प्रथम विचरण स्वयं अवकल समीकरण से परे चरम पर अतिरिक्त प्राकृतिक सीमा शर्तें लगाता है।
प्रथम समाकल और बेल्ट्रामी पहचान: जब लैग्रेंजियन स्पष्ट रूप से स्वतंत्र चर पर निर्भर नहीं करता है, तो एक संरक्षित मात्रा, बेल्ट्रामी पहचान, द्वितीय-क्रम समीकरण को प्रथम-क्रम समीकरण में कम कर देती है।

Clinical relevance

यूलर-लैग्रेंज समीकरण विचरण सिद्धांतों को हल करने योग्य अवकल समीकरणों में बदल देता है, जिससे लैग्रेंजियन यांत्रिकी में गति के समीकरण, ज्यामिति में जियोडेसिक समीकरण, और प्रत्यास्थता, प्रकाशिकी तथा क्षेत्र सिद्धांत के शासी समीकरण प्राप्त होते हैं।

History

यूलर ने 1744 में ज्यामितीय रूप से समीकरण व्युत्पन्न किया, और लैग्रेंज ने 1755 के आसपास अपनी बीजगणितीय विचरण विधि के माध्यम से व्युत्पत्ति को फिर से प्रस्तुत किया, जिससे समीकरण को उसका आधुनिक रूप और नाम मिला। नोएथर ने बाद में लैग्रेंजियन की समरूपताओं को समीकरण के माध्यम से संरक्षित मात्राओं से जोड़ा।

Key figures

Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
Emmy Noether
Eugenio Beltrami

Seminal works

gelfand1963
courant1953

Frequently asked questions

यूलर-लैग्रेंज समीकरण केवल एक आवश्यक शर्त क्यों है?: यह उन फलनों की पहचान करता है जहाँ फलनक स्थिर होता है, जो एक क्रांतिक बिंदु के अनुरूप है, लेकिन ऐसा बिंदु न्यूनतम, अधिकतम या दोनों में से कोई भी नहीं हो सकता है। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा है, द्वितीय विचरण की जांच करना या उत्तलता या प्रत्यक्ष-विधि तर्कों को लागू करना आवश्यक है।
प्राकृतिक सीमा शर्त क्या है?: जब प्रतिस्पर्धी फलनों के अंतिम बिंदु निश्चित नहीं होते हैं, तो प्रथम विचरण को शून्य करने की आवश्यकता उन अंतिम बिंदुओं पर एक अतिरिक्त शर्त को मजबूर करती है, जो सीमा पदों से व्युत्पन्न होती है। ये प्राकृतिक सीमा शर्तें विचरण सिद्धांत से स्वचालित रूप से उभरती हैं बजाय इसके कि उन्हें थोपा जाए।