इष्टतम नियंत्रण
इष्टतम नियंत्रण एक गतिशील प्रणाली को नियंत्रित करने के लिए नियंत्रण इनपुट निर्धारित करता है ताकि समय के साथ एक प्रदर्शन मानदंड को अनुकूलित किया जा सके।
Definition
एक इष्टतम नियंत्रण समस्या एक नियंत्रण फलन की तलाश करती है जो राज्य को नियंत्रित करने वाले अंतर समीकरणों के अधीन एक लागत कार्यात्मक को कम करता है; इसका समाधान अधिकतम सिद्धांत से आवश्यक शर्तों या गतिशील प्रोग्रामिंग के मूल्य फलन द्वारा विशेषता है।
Scope
यह विषय राज्य गतिशीलता और लागत कार्यात्मकताओं के साथ नियंत्रण समस्याओं के निरूपण, पोंट्रीगिन के अधिकतम सिद्धांत और सहायक समीकरणों, गतिशील प्रोग्रामिंग और हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण, रैखिक-द्विघात नियामक, और भिन्नताओं के शास्त्रीय कलन से संबंध को शामिल करता है।
Core questions
- सिस्टम के प्रक्षेपवक्र पर दिए गए लागत को कौन सा नियंत्रण कानून कम करता है?
- एक इष्टतम नियंत्रण को कौन सी आवश्यक शर्तें पूरी करनी चाहिए?
- गतिशील प्रोग्रामिंग इष्टतम मूल्य फलन को कैसे चित्रित करती है?
- इष्टतम नियंत्रण विवश इनपुट के लिए भिन्नताओं के कलन का विस्तार कैसे करता है?
Key theories
- पोंट्रीगिन अधिकतम सिद्धांत
- एक इष्टतम नियंत्रण प्रत्येक क्षण में एक हैमिल्टनियन को अधिकतम करता है, जिसमें एक सहायक कोस्टेट चर समय में पीछे की ओर विकसित होता है, जो नियंत्रणों के विवश होने पर भी आवश्यक शर्तें देता है।
- गतिशील प्रोग्रामिंग और HJB समीकरण
- बेलमैन का इष्टतमता का सिद्धांत मूल्य फलन के लिए हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन आंशिक अंतर समीकरण की ओर ले जाता है, जिसका समाधान इष्टतम प्रतिक्रिया नियंत्रण उत्पन्न करता है।
- रैखिक-द्विघात नियामक
- रैखिक गतिशीलता और द्विघात लागत के लिए, इष्टतम नियंत्रण एक रैखिक राज्य प्रतिक्रिया है जो एक रिकैटी समीकरण के समाधान द्वारा निर्धारित होती है, जो नियंत्रण इंजीनियरिंग का एक आधारशिला है।
Clinical relevance
इष्टतम नियंत्रण विमान और अंतरिक्ष यान के मार्गदर्शन, प्रक्रिया और रोबोटिक्स नियंत्रण, समय के साथ आर्थिक और संसाधन योजना, और उपचार-निर्धारण मॉडल को नियंत्रित करता है, जो एक गतिशील प्रणाली पर इष्टतम रूप से कार्य करने का सैद्धांतिक तरीका प्रदान करता है।
History
इष्टतम नियंत्रण 1950 के दशक में एयरोस्पेस समस्याओं के दबाव में भिन्नताओं के कलन से उभरा। पोंट्रीगिन और उनके सहकर्मियों ने 1956-1962 के आसपास अधिकतम सिद्धांत स्थापित किया, बेलमैन ने समानांतर में गतिशील प्रोग्रामिंग विकसित की, और कलमैन के रैखिक-द्विघात और फ़िल्टरिंग सिद्धांत ने इस विषय को आधुनिक इंजीनियरिंग के लिए केंद्रीय बना दिया।
Key figures
- Lev Pontryagin
- Richard Bellman
- Rudolf Kalman
- Constantin Caratheodory
Related topics
Seminal works
- pontryagin1962
- bertsekas2017
- liberzon2012
Frequently asked questions
- इष्टतम नियंत्रण भिन्नताओं के कलन से कैसे संबंधित है?
- भिन्नताओं का कलन स्वतंत्र रूप से वक्रों पर अनुकूलन करता है, जबकि इष्टतम नियंत्रण एक गतिशील प्रणाली के इनपुट पर अनुकूलन करता है, अक्सर नियंत्रणों पर बाधाओं के साथ। अधिकतम सिद्धांत इस विवश, प्रणाली-संचालित सेटिंग में शास्त्रीय यूलर-लैग्रेंज स्थितियों को सामान्यीकृत करता है।
- अधिकतम सिद्धांत और गतिशील प्रोग्रामिंग के बीच क्या अंतर है?
- अधिकतम सिद्धांत एक सहायक चर का उपयोग करके एक एकल इष्टतम प्रक्षेपवक्र के साथ आवश्यक शर्तें देता है, जबकि गतिशील प्रोग्रामिंग हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण के माध्यम से प्रत्येक राज्य से इष्टतम लागत को चित्रित करती है, जिससे एक प्रतिक्रिया कानून प्राप्त होता है। दोनों दृष्टिकोण पूरक और जुड़े हुए हैं।