कैलकुलस ऑफ़ वेरिएशन्स में प्रत्यक्ष विधि

प्रत्यक्ष विधि यूलर-लैग्रेंज समीकरण को हल करने के बजाय न्यूनतम अनुक्रमों और सघनता के साथ काम करके एक कार्यात्मक के न्यूनीकरणकर्ता के अस्तित्व को स्थापित करती है।

Definition

प्रत्यक्ष विधि यह सिद्ध करती है कि एक कार्यात्मक अपने निम्नतम (infimum) को प्राप्त करता है, एक न्यूनतम अनुक्रम का चयन करके, सघनता का उपयोग करके एक अभिसारी उप-अनुक्रम निकालकर, और यह दिखाने के लिए निम्न अर्ध-निरंतरता का उपयोग करके कि सीमा एक वास्तविक न्यूनीकरणकर्ता है।

Scope

यह विषय न्यूनतम अनुक्रमों, बलपूर्वकता (coercivity), सोबोलेव स्थानों में कमजोर सघनता (weak compactness), कमजोर निम्न अर्ध-निरंतरता (weak lower semicontinuity) और समाकल्य (integrand) की उत्तलता (convexity) से इसके संबंध, न्यूनीकरणकर्ताओं के अस्तित्व, और आंशिक अवकल समीकरणों के आधुनिक सिद्धांत तथा समाधानों की नियमितता में इन विचारों की भूमिका को शामिल करता है।

Core questions

• एक कार्यात्मक अपने न्यूनतम को कब प्राप्त करने की गारंटी देता है?
• बलपूर्वकता (coercivity) और सघनता (compactness) क्या भूमिका निभाते हैं?
• उत्तलता (convexity) से बंधी कमजोर निम्न अर्ध-निरंतरता (weak lower semicontinuity) प्रमुख परिकल्पना क्यों है?
• यह विधि परिवर्तनशील समस्याओं को आंशिक अवकल समीकरणों से कैसे जोड़ती है?

Key theories

बलपूर्वकता (Coercivity) और कमजोर सघनता (weak compactness)

बलपूर्वकता न्यूनतम अनुक्रमों को एक उपयुक्त फलन स्थान में परिबद्ध रहने के लिए मजबूर करती है, और परावर्तनशीलता (reflexivity) एक कमजोर अभिसारी उप-अनुक्रम प्रदान करती है, जिससे एक उम्मीदवार न्यूनीकरणकर्ता मिलता है।

कमजोर निम्न अर्ध-निरंतरता (Weak lower semicontinuity) और उत्तलता (convexity)

यदि कार्यात्मक कमजोर रूप से निम्न अर्ध-निरंतर है, तो कमजोर सीमा पर मान सीमित निम्नतम से अधिक नहीं होता है, और प्रवणता (gradient) में समाकल्य (integrand) की उत्तलता इस गुण की गारंटी देने वाली मानक स्थिति है।

न्यूनीकरणकर्ताओं का अस्तित्व

परिबद्धता (boundedness), कमजोर सघनता (weak compactness), और निम्न अर्ध-निरंतरता (lower semicontinuity) का संयोजन एक न्यूनीकरणकर्ता के अस्तित्व को उत्पन्न करता है, जो तब कमजोर अर्थ में यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है।

Clinical relevance

प्रत्यक्ष विधि अरेखीय आंशिक अवकल समीकरणों के लिए आधुनिक अस्तित्व सिद्धांत और प्रत्यास्थता, सामग्री विज्ञान और छवि प्रसंस्करण में परिवर्तनशील मॉडल की नींव है, जहाँ न्यूनीकरणकर्ता संतुलन विन्यास का प्रतिनिधित्व करते हैं।

History

हिल्बर्ट ने लगभग 1900 में डिरिचलेट सिद्धांत को सही ठहराते हुए, न्यूनीकरणकर्ताओं के अस्तित्व को सीधे स्थापित करने की वकालत की। टोनेली ने 1910 के दशक में निम्न अर्ध-निरंतरता का उपयोग करके विधि को व्यवस्थित किया, और सोबोलेव स्थानों और मोरे की अर्ध-उत्तलता (quasiconvexity) के बाद के विकास ने इसे इसका आधुनिक कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक रूप दिया।

Key figures

• David Hilbert
• Leonida Tonelli
• Charles B. Morrey
• Sergei Sobolev

Seminal works

• dacorogna2008
• evans2010

Frequently asked questions

यूलर-लैग्रेंज समीकरण को सीधे हल क्यों नहीं किया जाता?

यूलर-लैग्रेंज समीकरण केवल एक आवश्यक शर्त है, और अरेखीय समस्याओं के लिए इसे स्पष्ट रूप से हल करना या यह जानना भी असंभव हो सकता है कि कोई समाधान मौजूद है। प्रत्यक्ष विधि पहले एक न्यूनीकरणकर्ता के अस्तित्व को सिद्ध करती है, जो तब समीकरण का एक कमजोर समाधान प्रदान करता है।

यहाँ उत्तलता (convexity) क्यों महत्वपूर्ण है?

प्रवणता (gradient) में समाकल्य (integrand) की उत्तलता कार्यात्मक की कमजोर निम्न अर्ध-निरंतरता (weak lower semicontinuity) की गारंटी देती है, जो न्यूनतम अनुक्रम की सीमा तक पहुंचने के लिए आवश्यक गुण है। इसके बिना, एक न्यूनतम अनुक्रम इस तरह से दोलन कर सकता है कि उसकी कमजोर सीमा एक न्यूनीकरणकर्ता न हो।