यूलर-लैग्रेंज समीकरण

यूलर-लैग्रेंज समीकरण गति के वे अवकल समीकरण हैं जो क्रिया (action) को स्थिर (stationary) रखने की आवश्यकता से प्राप्त होते हैं, प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक (generalized coordinate) के लिए एक समीकरण होता है।

Definition

यूलर-लैग्रेंज समीकरण द्वितीय-क्रम अवकल समीकरणों का एक समूह है, जो क्रिया के विचरण (variation of the action) को शून्य पर सेट करके प्राप्त होता है, जो एक यांत्रिक प्रणाली के प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक के समय विकास (time evolution) को नियंत्रित करते हैं।

Scope

यह विषय हैमिल्टन के सिद्धांत (Hamilton's principle) से यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की व्युत्पत्ति, सामान्यीकृत निर्देशांकों की प्रणालियों के लिए उनका स्वरूप, सामान्यीकृत (कैनोनिकल) संवेग (generalized (canonical) momenta) की परिभाषा, चक्रीय निर्देशांकों (cyclic coordinates) का उपचार जो संरक्षित संवेग (conserved momenta) उत्पन्न करते हैं, और लैग्रेंज गुणकों (Lagrange multipliers) के माध्यम से बाधाओं (constraints) वाली प्रणालियों तक उनके विस्तार को शामिल करता है। वे लैग्रेंजियन यांत्रिकी (Lagrangian mechanics) का केंद्रीय अभिकलनात्मक परिणाम हैं।

Core questions

• यूलर-लैग्रेंज समीकरण स्थिर-क्रिया स्थिति (stationary-action condition) से कैसे प्राप्त होते हैं?
• सामान्यीकृत संवेग क्या है, और यह कब संरक्षित रहता है?
• लैग्रेंज गुणकों के माध्यम से बाधाओं को कैसे शामिल किया जाता है?

Key concepts

• सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग (Generalized coordinates and velocities)
• सामान्यीकृत (कैनोनिकल) संवेग (Generalized (canonical) momentum)
• चक्रीय (अज्ञेय) निर्देशांक (Cyclic (ignorable) coordinates)
• बाधाओं के लिए लैग्रेंज गुणक (Lagrange multipliers for constraints)
• न्यूटन के दूसरे नियम के साथ तुल्यता (Equivalence with Newton's second law)

Key theories

गति के यूलर-लैग्रेंज समीकरण

स्थिर क्रिया की मांग करने पर, प्रत्येक सामान्यीकृत निर्देशांक के लिए, एक समीकरण प्राप्त होता है जो सामान्यीकृत संवेग के समय व्युत्पन्न को लैग्रेंजियन से प्राप्त सामान्यीकृत बल के बराबर करता है।

चक्रीय निर्देशांक और संरक्षित संवेग

जब लैग्रेंजियन किसी विशेष निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है, तो संबंधित सामान्यीकृत संवेग संरक्षित रहता है, जिससे गति के स्थिरांकों (constants of motion) तक सीधा मार्ग मिलता है।

Clinical relevance

चूंकि वे किसी भी सुविधाजनक निर्देशांक में ऊर्जाओं से सीधे गति के समीकरण उत्पन्न करते हैं, यूलर-लैग्रेंज समीकरण रोबोटिक्स, एयरोस्पेस मल्टीबॉडी डायनामिक्स और नियंत्रण इंजीनियरिंग में मानक व्युत्पत्ति उपकरण हैं, जहां कार्टेशियन बल संतुलन बोझिल होगा।

History

यूलर ने 1740 के दशक में विचरण के कलन (calculus of variations) के केंद्रीय समीकरण को व्युत्पन्न किया, और लैग्रेंज ने इसे सामान्यीकृत किया और 1788 में अपनी Mécanique analytique में इसे यांत्रिकी पर व्यवस्थित रूप से लागू किया, जिससे समीकरणों को उनका संयुक्त नाम मिला। उन्नीसवीं शताब्दी में हैमिल्टन के सिद्धांत के माध्यम से उनकी पुनर्व्याख्या ने उनके परिवर्तनशील मूल को स्पष्ट किया।

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

क्या यूलर-लैग्रेंज समीकरण न्यूटन के नियमों के समतुल्य हैं?

हाँ, उन प्रणालियों के लिए जिनका वर्णन दोनों करते हैं। कार्टेशियन निर्देशांक में लैग्रेंजियन T − V के साथ वे न्यूटन के दूसरे नियम को ठीक-ठीक पुनरुत्पादित करते हैं, लेकिन वे किसी भी सामान्यीकृत निर्देशांक में मान्य हैं और बाधाओं को अधिक स्पष्ट रूप से संभालते हैं।

सामान्यीकृत संवेग क्या है?

यह एक सामान्यीकृत वेग के संबंध में लैग्रेंजियन का व्युत्पन्न है; सामान्य कार्टेशियन निर्देशांक के लिए यह सामान्य रैखिक संवेग (linear momentum) में कम हो जाता है, लेकिन एक कोणीय निर्देशांक के लिए यह एक कोणीय संवेग (angular momentum) होता है।