停止时间和可选停止

停止时间是一种随机时间，其到来可以根据迄今为止的信息识别，而可选停止定理指出，在这样的时间停止的公平博弈仍然是公平的，这是一个具有惊人影响力的原则。

Definition

停止时间是一个随机时间，在该时间停止的决定仅取决于截至该时间可用的信息，而可选停止定理指出，在适当条件下，在停止时间评估的鞅的期望值等于其初始期望值。

Scope

本主题涵盖了相对于过滤的停止时间的定义，以及由停止时间已知的事件的西格玛代数、停止过程、可选停止和可选抽样定理及其所需的积分性和有界性条件、瓦尔德关于在随机时间停止的和的恒等式，以及在赌徒破产、击中概率和预期击中时间方面的应用。

Core questions

• 是什么使随机时间成为停止时间，以及这种区别为何重要？
• 在什么条件下，停止鞅能保持其期望值不变？
• 为什么在没有可积性或有界性假设的情况下，可选停止定理会失效？
• 停止时间如何产生击中概率和预期持续时间？

Key concepts

• 停止时间
• 停止过程
• 可选抽样
• 瓦尔德恒等式
• 赌徒破产

Key theories

可选停止定理

如果停止时间有界，或者停止的鞅一致可积，或者时间具有有限均值且增量有界，那么鞅在停止时间的期望值等于其初始值，这精确地说明了公平博弈不能通过巧妙的退出规则来利用。

瓦尔德恒等式

对于在具有有限均值的停止时间停止的独立同分布变量之和，其期望和等于均值乘以预期停止时间，并且方差也存在相应的恒等式，这些结果是通过鞅可选停止获得的。

Clinical relevance

可选停止是计算赌博和保险中破产概率和预期游戏时间、瓦尔德序贯概率比检验的误差概率和预期样本量，以及排队论、可靠性和美式金融期权定价中首次通过计算的分析引擎。

History

杜布（Doob）提出了鞅的可选抽样定理，而瓦尔德（Wald）在20世纪40年代从事序贯分析工作时，推导出了随机停止和的恒等式，这些恒等式后来被鞅框架统一和解释。

Key figures

• Joseph L. Doob
• Abraham Wald
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

为什么停止时间必须能从过去的信息中识别出来？

如果一个人可以根据未来停止，他就可以在有利的时刻退出公平博弈并系统性地获胜；停止决定只能使用截至目前的信息这一要求，正是保持可选停止公平性的关键。

可选停止定理何时失效？

当停止时间无界且鞅不一致可积时，它可能会失效，例如在无限制的简单随机游走中，在首次访问正水平时停止会得到与起始值不同的期望值。