可选停止定理

可选停止定理指出，在排除无限等待的条件下，在一个巧妙选择的随机时间停止一场公平博弈并不能改变其期望值。

Definition

可选停止定理断言，对于满足适当可积性或有界性条件的鞅和停止时间，鞅在停止时间的期望值等于其初始期望值，因此停止的鞅仍然是鞅。

Scope

本主题涵盖了停止时间（stopping times）和停止过程（stopped process），可选停止定理的陈述及其假设，例如有界停止时间（bounded stopping times）、有界鞅（bounded martingales）或一致可积性（uniform integrability），以及一些反例（如倍投策略）以说明为何需要这些假设，并将其应用于赌徒破产问题（gambler's ruin）、随机游走的击中概率（hitting probabilities of random walks）和瓦尔德恒等式（Wald's identities）。

Core questions

• 什么是停止时间，以及在停止时间停止一个过程意味着什么？
• 在什么条件下，可选停止能保持期望值不变？
• 为什么有些停止策略似乎能战胜公平博弈，以及哪个假设失效了？
• 该定理如何得出击中概率和预期击中时间？

Key theories

充分条件下的可选停止

如果停止时间是有界的，或者鞅是有界的，或者停止值的族是一致可积的，那么鞅在停止时间的期望值等于其起始值，从而保持了公平博弈的性质。

瓦尔德恒等式和破产问题

将可选停止应用于随机游走鞅可以得到瓦尔德的第一和第二恒等式，它们关联了停止和与停止时间，并给出了明确的赌徒破产概率和预期持续时间。

Clinical relevance

可选停止是任何投注系统都无法战胜公平博弈的严谨原因，它为随机游走的破产和击中概率提供了清晰的推导，并且在序贯统计中，它控制了随着数据到达而自适应停止的检验的误差。

History

杜布（Doob）在20世纪40年代和50年代提出了可选抽样（optional sampling），概括了瓦尔德（Wald）在20世纪40年代的序贯分析恒等式，而该定理及其严谨的假设（通过倍投策略的失败所阐明）成为了应用鞅理论和数理金融学的基石。

Key figures

• Joseph Doob
• Abraham Wald
• David Williams

Seminal works

• doob1953

Frequently asked questions

一个聪明的停止规则能战胜公平博弈吗？

不能，前提是可选停止定理的条件成立；那些看似能赢的策略，例如倍投，需要无限的资本或无限的预期时间，这违反了定理的假设。

什么是停止时间？

停止时间是一个随机时间，其发生可以仅根据截至该时刻的可用信息来决定，而无需预知未来，例如一个过程首次达到给定水平的时间。