Quá trình Levy

Một quá trình Levy có các gia số độc lập dừng và các đường liên tục theo xác suất, thống nhất chuyển động Brown, quá trình Poisson và các kết hợp của chúng thành một họ duy nhất có các bước nhảy.

Definition

Một quá trình Levy là một quá trình ngẫu nhiên bắt đầu từ 0 với các gia số độc lập và dừng, liên tục theo xác suất, do đó gia số của nó trên bất kỳ khoảng nào đều có phân phối vô hạn chia hết và số mũ đặc trưng của nó được cho bởi công thức Levy-Khintchine.

Scope

Chủ đề này bao gồm định nghĩa các quá trình Levy thông qua các gia số độc lập dừng, sự tương ứng của chúng với các phân phối vô hạn chia hết, công thức Levy-Khintchine phân tách quá trình thành các phần trôi dạt, Gauss và bước nhảy, phân tách Levy-Ito của các đường mẫu, các quá trình phụ thuộc và ổn định, và giải tích ngẫu nhiên cùng các ứng dụng cho các quá trình có bước nhảy.

Core questions

• Điều gì định nghĩa một quá trình Levy và liên kết nó với các phân phối vô hạn chia hết?
• Công thức Levy-Khintchine mã hóa sự trôi dạt, khuếch tán và các bước nhảy như thế nào?
• Phân tách Levy-Ito mô tả các đường mẫu như thế nào?
• Những quá trình Levy đặc biệt nào như các quá trình phụ thuộc và ổn định phát sinh?

Key theories

Công thức Levy-Khintchine

Hàm đặc trưng của một quá trình Levy tại bất kỳ thời điểm nào là số mũ của một số mũ đặc trưng bao gồm một sự trôi dạt tuyến tính, một phương sai Gauss và một tích phân đối với một độ đo Levy điều chỉnh các bước nhảy, đưa ra một mô tả đầy đủ về quy luật.

Phân tách Levy-Ito

Mọi quá trình Levy đều được phân tách thành một sự trôi dạt xác định, một chuyển động Brown độc lập và một phần bước nhảy thuần túy độc lập được xây dựng từ một độ đo ngẫu nhiên Poisson của các bước nhảy, tách biệt các thành phần liên tục và không liên tục của các đường của nó.

Clinical relevance

Các quá trình Levy mô hình hóa lợi nhuận tài sản với các bước nhảy đột ngột, dự trữ rủi ro bảo hiểm, khuếch tán dị thường trong vật lý và đầu vào hàng đợi với các đợt bùng phát, cung cấp các lựa chọn thay thế thực tế hơn cho các mô hình Gauss thuần túy ở những nơi mà các chuyển động lớn hiếm gặp có ý nghĩa quan trọng.

History

De Finetti đã giới thiệu các phân phối vô hạn chia hết vào những năm 1920, Levy và Khinchin đã suy ra biểu diễn số mũ đặc trưng vào khoảng năm 1934, và phân tách các đường thành các phần liên tục và bước nhảy của Ito đã hoàn thiện lý thuyết cấu trúc mang tên họ, với sự quan tâm mới từ tài chính toán học kể từ những năm 1990.

Key figures

• Paul Levy
• Aleksandr Khinchin
• Kiyosi Ito
• Bruno de Finetti

Seminal works

• bertoin1996
• sato1999

Frequently asked questions

Điều gì thống nhất chuyển động Brown và quá trình Poisson?

Cả hai đều là các quá trình Levy, có các gia số độc lập dừng; chuyển động Brown là trường hợp Gauss liên tục và quá trình Poisson là trường hợp bước nhảy thuần túy, và các quá trình Levy tổng quát kết hợp sự trôi dạt, khuếch tán và các bước nhảy.

Độ đo Levy là gì?

Đó là độ đo trong công thức Levy-Khintchine chỉ rõ tốc độ và kích thước của các bước nhảy của quá trình, kiểm soát tần suất xảy ra các bước nhảy có từng độ lớn.