Giải tích Ito và Tích phân ngẫu nhiên

Giải tích Ito mở rộng phép tích phân và vi phân cho các quá trình được điều khiển bởi chuyển động Brownian, thay thế quy tắc chuỗi thông thường bằng công thức Ito, công thức này mang một số hạng bổ sung từ phương sai bậc hai.

Definition

Tích phân Ito là tích phân ngẫu nhiên của một quá trình dự đoán được đối với chuyển động Brownian, được định nghĩa sao cho nó là một martingale với phương sai được cho bởi đẳng thức Ito, và công thức Ito là quy tắc đổi biến kết quả bổ sung một số hạng đạo hàm bậc hai phản ánh phương sai bậc hai của hàm tích phân.

Scope

Chủ đề này bao gồm việc xây dựng tích phân Ito như một giới hạn của tổng Riemann điểm cuối bên trái đối với chuyển động Brownian, đẳng thức Ito, tính chất martingale của tích phân, công thức Ito cho các hàm của quá trình khuếch tán, các quy tắc đa chiều và tích, sự so sánh với tích phân Stratonovich, và giải tích phương sai bậc hai phân biệt tích phân ngẫu nhiên với tích phân thông thường.

Core questions

• Tích phân Ito được xây dựng như thế nào và tại sao phải sử dụng các điểm cuối bên trái?
• Đẳng thức Ito là gì và nó kiểm soát phương sai của tích phân như thế nào?
• Số hạng bổ sung nào phân biệt công thức Ito với quy tắc chuỗi thông thường?
• Tích phân Ito khác với tích phân Stratonovich như thế nào?

Key theories

Tích phân Ito và đẳng thức Ito

Việc định nghĩa tích phân bằng cách đánh giá tại điểm cuối bên trái làm cho nó trở thành một martingale, và đẳng thức Ito cân bằng kỳ vọng bình phương của tích phân với kỳ vọng của tích phân bình phương của hàm dưới dấu tích phân, mang lại cho tích phân cấu trúc và sự ổn định L2 của nó.

Công thức Ito

Đối với một hàm trơn của một quá trình khuếch tán, công thức Ito biểu diễn vi phân dưới dạng số hạng gradient thông thường cộng với một hiệu chỉnh liên quan đến đạo hàm bậc hai và phương sai bậc hai, quy tắc này làm cho giải tích ngẫu nhiên có thể tính toán được và tạo ra phương trình Black-Scholes.

Clinical relevance

Giải tích Ito là ngôn ngữ làm việc của tài chính toán học, nơi công thức Ito dùng để suy ra phương trình vi phân riêng phần Black-Scholes và các chiến lược phòng ngừa rủi ro, cũng như của điều khiển ngẫu nhiên, lọc và vật lý, bất cứ nơi nào các hệ thống được mô hình hóa là được điều khiển bởi nhiễu trắng Gaussian.

History

Ito đã giới thiệu tích phân ngẫu nhiên và công thức đổi biến của ông trong các bài báo năm 1944 và 1951 để xây dựng các quá trình khuếch tán, Stratonovich và Fisk sau đó đã đề xuất một tích phân thay thế tuân theo quy tắc chuỗi thông thường, và hai công thức này đã được dung hòa khi lý thuyết trưởng thành thông qua công trình của McKean, Meyer và những người khác.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

Tại sao công thức Ito có một số hạng bổ sung?

Bởi vì chuyển động Brownian có phương sai bậc hai khác không, số hạng bậc hai trong khai triển Taylor không biến mất ở giới hạn, bổ sung một hiệu chỉnh bằng một nửa đạo hàm bậc hai không có trong giải tích thông thường.

Sự khác biệt giữa tích phân Ito và Stratonovich là gì?

Tích phân Ito đánh giá hàm dưới dấu tích phân tại điểm cuối bên trái và là một martingale, trong khi tích phân Stratonovich sử dụng điểm giữa và tuân theo quy tắc chuỗi thông thường; chúng khác nhau bởi một số hạng hiệu chỉnh và phù hợp với các ứng dụng khác nhau.