Các quá trình Poisson không đồng nhất và phức hợp

Tổng quát hóa quá trình Poisson, phiên bản không đồng nhất cho phép tốc độ sự kiện thay đổi theo thời gian hoặc không gian, trong khi phiên bản phức hợp gán các kích thước ngẫu nhiên độc lập cho mỗi sự kiện.

Definition

Một quá trình Poisson không đồng nhất là một quá trình đếm với các gia số độc lập mà số lượng trong một vùng được phân phối theo Poisson với giá trị trung bình được cho bởi tích phân của một cường độ không đổi, và một quá trình Poisson phức hợp là tổng của các bước nhảy ngẫu nhiên độc lập, phân phối giống hệt nhau xảy ra tại các sự kiện của một quá trình Poisson.

Scope

Chủ đề này bao gồm quá trình Poisson không đồng nhất được định nghĩa bởi một hàm cường độ thay đổi và độ đo trung bình tích lũy, sự thay đổi thời gian ánh xạ nó thành một quá trình Poisson tiêu chuẩn, quá trình Poisson phức hợp được hình thành bằng cách tổng hợp các kích thước ngẫu nhiên độc lập tại các thời điểm sự kiện Poisson, giá trị trung bình, phương sai và hàm đặc trưng của nó, và các ứng dụng trong rủi ro bảo hiểm và nhiễu xạ.

Core questions

• Hàm cường độ thay đổi tổng quát hóa quá trình tốc độ không đổi như thế nào?
• Một quá trình không đồng nhất có thể được biến đổi thành một quá trình đồng nhất bằng cách thay đổi thời gian như thế nào?
• Giá trị trung bình và phương sai của tổng Poisson phức hợp được tính toán như thế nào?
• Các quá trình này mô hình hóa yêu cầu bồi thường bảo hiểm và nhiễu xạ như thế nào?

Key theories

Thay đổi thời gian thành Poisson tiêu chuẩn

Thay đổi tỷ lệ thời gian bằng hàm cường độ tích lũy biến một quá trình Poisson không đồng nhất thành một quá trình Poisson tiêu chuẩn với tốc độ một, điều này vừa đặc trưng cho quá trình không đồng nhất vừa cung cấp một phương pháp mô phỏng bằng cách đảo ngược hoặc làm mỏng.

Phân phối Poisson phức hợp

Tổng của một số bước nhảy độc lập được phân phối theo Poisson có giá trị trung bình và phương sai có thể biểu thị thông qua phân phối bước nhảy, và hàm đặc trưng của nó là lũy thừa của tốc độ nhân với hàm đặc trưng bước nhảy trừ đi một, liên kết nó với các luật phân phối vô hạn.

Clinical relevance

Các quá trình Poisson không đồng nhất mô hình hóa tốc độ đến thay đổi theo thời gian như lưu lượng giao thông hàng ngày hoặc tỷ lệ mắc bệnh theo mùa, trong khi các quá trình Poisson phức hợp là mô hình cổ điển của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm tổng hợp trong lý thuyết rủi ro Cramer-Lundberg và của nhiễu xạ trong vật lý và xử lý tín hiệu.

History

Lundberg đã giới thiệu mô hình rủi ro Poisson phức hợp vào năm 1903 và Cramer đã phát triển lý thuyết phá sản của nó vào những năm 1930, trong khi các quá trình Poisson không đồng nhất và mô phỏng dựa trên làm mỏng của chúng, được Lewis và Shedler chính thức hóa vào năm 1979, đã trở thành công cụ tiêu chuẩn để mô hình hóa tốc độ sự kiện thay đổi theo thời gian.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Sự khác biệt giữa các quá trình Poisson không đồng nhất và phức hợp là gì?

Một quá trình không đồng nhất giữ các bước nhảy đơn vị nhưng cho phép tốc độ sự kiện thay đổi theo thời gian hoặc không gian, trong khi một quá trình phức hợp giữ một số lượng sự kiện Poisson nhưng gán cho mỗi sự kiện một kích thước ngẫu nhiên.

Quá trình Poisson phức hợp được sử dụng trong bảo hiểm như thế nào?

Nó mô hình hóa tổng số yêu cầu bồi thường như một số lượng Poisson của các khoản yêu cầu bồi thường độc lập; tổng hợp kết quả là cơ sở của lý thuyết phá sản cổ điển, nghiên cứu xác suất rằng các yêu cầu bồi thường tích lũy vượt quá dự trữ.