Chuyển động Brown và Giải tích ngẫu nhiên
Chuyển động Brown là quá trình ngẫu nhiên liên tục theo thời gian chính tắc, và giải tích Ito được xây dựng dựa trên nó cung cấp các quy tắc để vi phân và tích phân dọc theo các đường lởm chởm, không thể vi phân ở bất cứ đâu của nó, ngôn ngữ của mô hình hóa ngẫu nhiên hiện đại.
Definition
Chuyển động Brown là một quá trình có đường đi liên tục với các gia số Gaussian độc lập, dừng, và giải tích ngẫu nhiên là lý thuyết về tích phân và vi phân đối với nó và các martingale liên tục liên quan, tập trung vào tích phân Ito và công thức Ito.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm việc xây dựng và các tính chất đường đi của chuyển động Brown, các đặc trưng martingale và Markov của nó, tích phân ngẫu nhiên Ito đối với chuyển động Brown và các martingale liên tục, công thức Ito như quy tắc chuỗi của giải tích ngẫu nhiên, các phương trình vi phân ngẫu nhiên và lý thuyết tồn tại và duy nhất của chúng, và các kết nối với các phương trình vi phân riêng phần thông qua công thức Feynman-Kac.
Sub-topics
Core questions
- Chuyển động Brown được xây dựng như thế nào, và các tính chất đường đi nổi bật của nó là gì?
- Làm thế nào để tích phân đối với một quá trình mà các đường đi của nó có biến phân không giới hạn?
- Điều gì thay thế quy tắc chuỗi thông thường khi tích phân là chuyển động Brown?
- Các phương trình vi phân ngẫu nhiên được định nghĩa và giải như thế nào?
Key theories
- Tích phân Ito và công thức Ito
- Tích phân Ito định nghĩa tích phân đối với chuyển động Brown bằng cách sử dụng biến phân bậc hai của nó, và công thức Ito là quy tắc chuỗi kết quả, mang một số hạng bậc hai bổ sung phản ánh rằng biến phân bậc hai tích lũy tuyến tính theo thời gian.
- Các phương trình vi phân ngẫu nhiên và Feynman-Kac
- Các phương trình vi phân ngẫu nhiên được điều khiển bởi chuyển động Brown có các nghiệm mạnh duy nhất dưới các điều kiện Lipschitz và tăng trưởng, và công thức Feynman-Kac biểu diễn các nghiệm của các phương trình vi phân riêng phần parabolic liên quan dưới dạng kỳ vọng trên các quá trình khuếch tán này.
Clinical relevance
Giải tích ngẫu nhiên là nền tảng toán học của tài chính liên tục theo thời gian, nơi mô hình Black-Scholes định giá các quyền chọn thông qua một quá trình Ito, và nó phổ biến trong vật lý, nơi nó mô tả sự khuếch tán và nhiễu, kỹ thuật, nơi nó làm nền tảng cho lọc và điều khiển ngẫu nhiên, và sinh học, nơi nó mô hình hóa động lực học quần thể và thần kinh dưới sự ngẫu nhiên.
History
Chuyển động Brown được Robert Brown quan sát, được Einstein và Smoluchowski mô hình hóa vật lý, và được Norbert Wiener xây dựng một cách chặt chẽ vào năm 1923. Kiyosi Ito đã tạo ra tích phân ngẫu nhiên và công thức Ito vào những năm 1940, đặt nền móng cho giải tích ngẫu nhiên, sau này trở nên không thể thiếu đối với tài chính toán học.
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- Tại sao giải tích thông thường không thể được sử dụng với chuyển động Brown?
- Các đường đi của chuyển động Brown liên tục nhưng không thể vi phân ở bất cứ đâu và có biến phân vô hạn, do đó tích phân Riemann-Stieltjes thông thường và quy tắc chuỗi không áp dụng được; giải tích Ito thay thế chúng bằng các cấu trúc dựa trên biến phân bậc hai hữu hạn của các đường đi.
- Số hạng bổ sung trong công thức Ito là gì?
- Bởi vì các gia số bình phương của chuyển động Brown tích lũy với một tốc độ xác định chứ không biến mất, quy tắc chuỗi ngẫu nhiên bao gồm một số hạng đạo hàm bậc hai tỷ lệ với thời gian đã trôi qua, điều này không có sự tương tự trong giải tích thông thường.