Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Một phương trình vi phân ngẫu nhiên mô tả sự tiến hóa của một hệ thống chịu tác động của một dịch chuyển xác định và một dao động ngẫu nhiên được điều khiển bởi chuyển động Brown, định nghĩa một quá trình khuếch tán.

Definition

Một phương trình vi phân ngẫu nhiên xác định vi phân của một quá trình dưới dạng hệ số dịch chuyển nhân với gia số thời gian cộng với hệ số khuếch tán nhân với gia số Brown, và nghiệm của nó là một quá trình khuếch tán mà quy luật của nó được điều chỉnh bởi toán tử vi phân bậc hai liên quan.

Scope

Chủ đề này bao gồm việc diễn giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên dưới dạng phương trình tích phân Ito, sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm mạnh trong điều kiện Lipschitz và tăng trưởng, sự phân biệt giữa nghiệm mạnh và nghiệm yếu, bộ tạo của quá trình khuếch tán và mối liên hệ của nó với các phương trình Fokker-Planck và Kolmogorov ngược, các định lý Feynman-Kac và Girsanov, và các lược đồ số như phương pháp Euler-Maruyama và Milstein.

Core questions

• Một phương trình vi phân ngẫu nhiên được diễn giải như một phương trình tích phân Ito như thế nào?
• Những điều kiện nào đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất của một nghiệm?
• Bộ tạo của quá trình khuếch tán được liên kết với các phương trình vi phân riêng phần như thế nào?
• Các nghiệm được xấp xỉ bằng số và với độ chính xác nào?

Key theories

Sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm mạnh

Trong điều kiện liên tục Lipschitz và tăng trưởng tuyến tính của các hệ số dịch chuyển và khuếch tán, phương trình vi phân ngẫu nhiên có một nghiệm mạnh duy nhất là một quá trình khuếch tán Markov liên tục, được thiết lập bằng một phép lặp kiểu Picard sử dụng đẳng cự Ito.

Feynman-Kac và bộ tạo

Bộ tạo vô cùng nhỏ của quá trình khuếch tán là một toán tử elliptic bậc hai, mật độ chuyển tiếp của nó giải phương trình Fokker-Planck, và công thức Feynman-Kac biểu diễn các nghiệm của các phương trình vi phân riêng phần parabolic dưới dạng kỳ vọng của các hàm của quá trình khuếch tán.

Clinical relevance

Các phương trình vi phân ngẫu nhiên mô hình hóa giá tài sản, lãi suất và biến động trong tài chính, động lực học nhiễu của các hệ thống vật lý, hóa học và sinh học, cũng như các mô hình dân số và dịch bệnh với sự ngẫu nhiên của môi trường, trong khi nghiệm số của chúng bằng Euler-Maruyama và các lược đồ liên quan cho phép định giá và mô phỏng Monte Carlo.

History

Ito đã giới thiệu các phương trình vi phân ngẫu nhiên vào những năm 1940 để xây dựng các quá trình khuếch tán mà bộ tạo của chúng là các toán tử elliptic được quy định, Stroock và Varadhan đã định hình lại chủ đề thông qua bài toán martingale vào những năm 1960 và 1970, và phân tích số của các phương trình này đã được hệ thống hóa bởi Kloeden và Platen vào những năm 1990.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Bernt Oksendal
• Daniel Stroock
• Srinivasa Varadhan

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

Một phương trình vi phân ngẫu nhiên mô tả điều gì?

Nó mô tả một quá trình di chuyển dưới một dịch chuyển có thể dự đoán được cộng với các cú sốc ngẫu nhiên từ chuyển động Brown, tạo ra một quá trình khuếch tán mà phân bố xác suất của nó tiến hóa theo một phương trình vi phân riêng phần liên quan.

Sự khác biệt giữa nghiệm mạnh và nghiệm yếu là gì?

Một nghiệm mạnh được xây dựng trên một chuyển động Brown và một lọc đã cho, trong khi một nghiệm yếu chỉ yêu cầu sự tồn tại của một chuyển động Brown và một quá trình với quy luật được quy định; các nghiệm yếu có thể tồn tại khi các nghiệm mạnh không tồn tại.