Chuyển động Brown và Giải tích ngẫu nhiên
Chuyển động Brown là quá trình ngẫu nhiên liên tục với các gia số độc lập và phân bố Gauss; giải tích ngẫu nhiên được xây dựng dựa trên nó cung cấp các quy tắc để tích phân và vi phân dọc theo các đường đi thất thường của nó.
Definition
Chuyển động Brown là một quá trình thời gian liên tục với các gia số Gauss độc lập, dừng và các đường đi liên tục không khả vi tại bất kỳ điểm nào, và giải tích ngẫu nhiên là lý thuyết về tích phân và vi phân đối với các quá trình như vậy, tập trung vào tích phân Ito và công thức đổi biến Ito.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm quá trình Wiener và các tính chất đường đi của nó, tích phân ngẫu nhiên Ito và công thức Ito, các phương trình vi phân ngẫu nhiên và các quá trình khuếch tán, mối liên hệ với các phương trình vi phân riêng phần thông qua Feynman-Kac và phương trình Fokker-Planck, sự thay đổi độ đo Girsanov, và sự mở rộng sang các quá trình Levy có bước nhảy.
Sub-topics
Core questions
- Những tính chất nào đặc trưng cho chuyển động Brown và làm cho các đường đi của nó trở nên bất thường?
- Tích phân được định nghĩa như thế nào đối với chuyển động Brown mặc dù có sự biến thiên vô hạn của nó?
- Công thức Ito là gì và nó thay thế quy tắc chuỗi thông thường như thế nào?
- Các phương trình vi phân ngẫu nhiên và quá trình Levy mở rộng khuôn khổ như thế nào?
Key theories
- Tích phân Ito và công thức Ito
- Tích phân Ito định nghĩa tích phân đối với chuyển động Brown bằng cách khai thác tính chất martingale và phương sai bậc hai bằng thời gian trôi qua, và công thức Ito đưa ra quy tắc đổi biến với một số hạng đạo hàm bậc hai bổ sung phản ánh sự biến thiên đó.
- Khuếch tán và mối liên hệ với các phương trình vi phân riêng phần
- Các nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên là các khuếch tán Markov mà mật độ chuyển tiếp của chúng giải các phương trình Fokker-Planck và Kolmogorov ngược, và công thức Feynman-Kac biểu diễn các nghiệm của phương trình parabolic dưới dạng kỳ vọng trên các đường khuếch tán.
Clinical relevance
Chuyển động Brown và giải tích ngẫu nhiên mô hình hóa sự khuếch tán của các hạt và nhiệt, sự biến động ngẫu nhiên của giá tài sản trong lý thuyết định giá quyền chọn Black-Scholes, nhiễu trong các hệ thống vật lý và kỹ thuật, và lọc tín hiệu nhiễu, khiến chúng trở nên không thể thiếu trong vật lý, tài chính và điều khiển.
History
Brown đã quan sát chuyển động thất thường của các hạt phấn hoa vào năm 1827, Einstein và Smoluchowski đã đưa ra lý thuyết vật lý của nó vào khoảng năm 1905, Bachelier đã sử dụng nó cho tài chính vào năm 1900, Wiener đã xây dựng nó một cách chặt chẽ vào năm 1923, và Ito đã tạo ra giải tích ngẫu nhiên vào những năm 1940 biến nó thành một công cụ tính toán.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- Tại sao giải tích thông thường không thể được sử dụng cho chuyển động Brown?
- Các đường đi của chuyển động Brown có tổng biến thiên vô hạn và không khả vi tại bất kỳ điểm nào, vì vậy các tích phân thông thường và quy tắc chuỗi cổ điển không thể áp dụng; giải tích ngẫu nhiên Ito cung cấp các phương pháp thay thế có tính đến phương sai bậc hai.
- Công thức Ito là gì?
- Đây là dạng ngẫu nhiên tương tự của quy tắc chuỗi cho các hàm của chuyển động Brown hoặc khuếch tán, bao gồm một số hạng bổ sung liên quan đến đạo hàm bậc hai phát sinh từ phương sai bậc hai khác không của các đường đi.