Chuyển động Brown

Chuyển động Brown, hay quá trình Wiener, là quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục phát sinh như giới hạn tỷ lệ của vô số bước độc lập nhỏ; các đường đi của nó liên tục ở mọi nơi nhưng không khả vi ở bất cứ đâu.

Definition

Chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nhiên có giá trị thực bắt đầu từ 0 với các đường mẫu liên tục mà các gia số của nó trên các khoảng rời rạc là độc lập và được phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai bằng độ dài của khoảng.

Scope

Chủ đề này bao gồm các tính chất xác định của chuyển động Brown như một quá trình với các đường đi liên tục, các gia số dừng độc lập và phân phối Gaussian, sự tồn tại của nó thông qua cấu trúc của Wiener và nguyên lý bất biến của Donsker, các tính chất đường đi của tính liên tục, tính không khả vi ở bất cứ đâu và biến phân bậc hai, tính chất Markov mạnh và nguyên lý phản xạ, định luật logarit lặp, và vai trò của chuyển động Brown như một martingale liên tục và một quá trình Gaussian.

Core questions

• Những tính chất nào đặc trưng duy nhất cho chuyển động Brown trong số các quá trình ngẫu nhiên?
• Sự tồn tại của một quá trình với các đường đi Brown liên tục được thiết lập như thế nào?
• Những tính chất phân tích đáng chú ý nào của các đường đi Brown?
• Nguyên lý phản xạ mang lại sự phân bố của giá trị cực đại và thời gian chạm như thế nào?

Key concepts

• Quá trình Wiener
• gia số Gaussian độc lập
• các đường đi không khả vi ở bất cứ đâu
• biến phân bậc hai
• nguyên lý phản xạ

Key theories

Nguyên lý bất biến của Donsker

Các bước ngẫu nhiên được điều chỉnh tỷ lệ thích hợp hội tụ theo phân phối về chuyển động Brown trong không gian của các đường đi liên tục, định lý giới hạn trung tâm hàm giải thích tính phổ quát của chuyển động Brown như giới hạn của các hiệu ứng độc lập nhỏ được tổng hợp.

Các tính chất đường đi và nguyên lý phản xạ

Các đường đi Brown gần như chắc chắn là liên tục, không khả vi ở bất cứ đâu và có biến phân bậc hai bằng thời gian đã trôi qua, và nguyên lý phản xạ sử dụng tính chất Markov mạnh để đưa ra các phân bố của giá trị cực đại đang chạy và thời gian vượt qua đầu tiên dưới dạng đóng.

Clinical relevance

Chuyển động Brown mô hình hóa sự khuếch tán của các hạt trong vật lý và hóa học, sự biến động nhiễu loạn của giá tài sản trong lý thuyết tài chính Black-Scholes, nhiễu nhiệt và nhiễu điện tử trong kỹ thuật, và sự lây lan ngẫu nhiên của các chất ô nhiễm hoặc gen; nó cũng là khối xây dựng từ đó các khuếch tán tổng quát hơn và các tích phân ngẫu nhiên được xây dựng.

History

Robert Brown đã quan sát chuyển động thất thường của các hạt phấn hoa vào năm 1827, và Einstein cùng Smoluchowski đã giải thích nó về mặt vật lý vào năm 1905 và 1906. Norbert Wiener đã đưa ra cấu trúc toán học chặt chẽ vào năm 1923, và Levy cùng những người khác đã phát triển lý thuyết chi tiết về các đường đi của nó.

Key figures

• Robert Brown
• Albert Einstein
• Norbert Wiener
• Paul Levy

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

Tại sao các đường đi Brown liên tục nhưng không khả vi?

Trên bất kỳ khoảng nhỏ nào, gia số có bậc bằng căn bậc hai của độ dài khoảng, điều này giữ cho đường đi liên tục nhưng làm cho các thương số sai phân tăng vọt, do đó không tồn tại đạo hàm tại bất kỳ điểm nào.

Chuyển động Brown liên quan đến bước ngẫu nhiên như thế nào?

Chuyển động Brown là giới hạn tỷ lệ của một bước ngẫu nhiên: nếu một bước ngẫu nhiên đơn giản được tăng tốc theo thời gian và thu nhỏ trong không gian với tốc độ phù hợp, quỹ đạo của nó hội tụ về chuyển động Brown, như được làm rõ bởi nguyên lý bất biến của Donsker.