ปริพันธ์อิโต

ปริพันธ์อิโตช่วยให้สามารถหาปริพันธ์ของกระบวนการสุ่มเทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ซึ่งเป็นงานที่แคลคูลัสทั่วไปไม่สามารถจัดการได้เนื่องจากวิถีบราวน์มีความผันแปรอนันต์ โดยอาศัยการใช้ประโยชน์จากความผันแปรกำลังสองจำกัดและการเลือกจุดประเมินที่ชาญฉลาด

Definition

ปริพันธ์อิโตของกระบวนการที่คาดการณ์ได้เทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์คือลิมิตในความหมายกำลังสองเฉลี่ยของผลรวมประมาณค่าที่ประเมินตัวถูกหาปริพันธ์ที่จุดสิ้นสุดด้านซ้ายของแต่ละช่วงย่อย ซึ่งกำหนดขึ้นครั้งแรกสำหรับตัวถูกหาปริพันธ์แบบง่ายและขยายโดยสมมาตรอิโต

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างปริพันธ์อิโตสำหรับตัวถูกหาปริพันธ์ที่คาดการณ์ได้แบบง่ายก่อน จากนั้นจึงใช้สมมาตรอิโตสำหรับตัวถูกหาปริพันธ์ที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ การขยายไปสู่มาร์ติงเกลเฉพาะที่แบบต่อเนื่อง คุณสมบัติมาร์ติงเกลของปริพันธ์และความผันแปรกำลังสองของมัน ความแตกต่างระหว่างแบบแผนอิโตและสตราโตโนวิช และบทบาทของการคาดการณ์ได้และการเลือกจุดสิ้นสุดด้านซ้ายที่ไม่คาดการณ์ล่วงหน้า

Core questions

• เหตุใดการหาปริพันธ์เทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์จึงต้องมีการนิยามใหม่?
• สมมาตรอิโตช่วยให้การสร้างทำงานได้อย่างไร?
• เหตุใดตัวถูกหาปริพันธ์จึงต้องถูกประเมินที่จุดสิ้นสุดด้านซ้าย และการคาดการณ์ได้ช่วยให้มั่นใจในสิ่งใด?
• ปริพันธ์อิโตแตกต่างจากปริพันธ์สตราโตโนวิชอย่างไร?

Key concepts

• ตัวถูกหาปริพันธ์ที่คาดการณ์ได้
• สมมาตรอิโต
• ความผันแปรกำลังสอง
• คุณสมบัติมาร์ติงเกล
• อิโตเทียบกับสตราโตโนวิช

Key theories

สมมาตรและการสร้างของอิโต

สำหรับตัวถูกหาปริพันธ์ที่คาดการณ์ได้ซึ่งหาปริพันธ์กำลังสองได้ ค่าเฉลี่ยกำลังสองของปริพันธ์อิโตจะเท่ากับปริพันธ์เวลาที่คาดหวังของตัวถูกหาปริพันธ์กำลังสอง ซึ่งเป็นสมมาตรที่ช่วยให้สามารถนิยามปริพันธ์สำหรับกระบวนการแบบง่ายและขยายโดยความสมบูรณ์ไปยังตัวถูกหาปริพันธ์ประเภทใหญ่

คุณสมบัติมาร์ติงเกลของปริพันธ์

ปริพันธ์อิโตของกระบวนการที่คาดการณ์ได้ที่เหมาะสมเทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์นั้นเป็นมาร์ติงเกลต่อเนื่องที่มีความผันแปรกำลังสองที่กำหนดโดยปริพันธ์เวลาของตัวถูกหาปริพันธ์กำลังสอง ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้แบบแผนจุดสิ้นสุดด้านซ้ายที่ไม่คาดการณ์ล่วงหน้าเป็นแบบแผนที่เป็นธรรมชาติ

Clinical relevance

ปริพันธ์อิโตเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงผลกำไรจากกลยุทธ์การซื้อขายที่ปรับสมดุลอย่างต่อเนื่องในการเงินเชิงคณิตศาสตร์ ผลสะสมของสัญญาณรบกวนในแบบจำลองของระบบทางกายภาพและชีวภาพ และพจน์นวัตกรรมในการกรองแบบสุ่ม คุณสมบัติมาร์ติงเกลของมันเป็นพื้นฐานเชิงวิเคราะห์ของการกำหนดราคาที่ปราศจากการเก็งกำไร

History

คิโยชิ อิโต ได้นิยามปริพันธ์เชิงสุ่มในช่วงทศวรรษ 1940 เพื่อให้ความหมายแก่สมการเชิงอนุพันธ์ที่ขับเคลื่อนโดยการเคลื่อนที่แบบบราวน์ และสตราโตโนวิชได้นำเสนอแบบแผนทางเลือกในภายหลังด้วยพฤติกรรมกฎลูกโซ่ทั่วไป การสร้างของอิโตพร้อมด้วยคุณสมบัติมาร์ติงเกลได้กลายเป็นมาตรฐานสำหรับความน่าจะเป็นและการเงิน

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

เหตุใดตัวถูกหาปริพันธ์จึงถูกประเมินที่จุดสิ้นสุดด้านซ้าย?

การใช้จุดสิ้นสุดด้านซ้ายทำให้ตัวถูกหาปริพันธ์ไม่คาดการณ์ล่วงหน้า ดังนั้นจึงไม่สามารถมองเห็นส่วนเพิ่มในอนาคตของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ได้ นี่คือสิ่งที่ทำให้ปริพันธ์ที่ได้เป็นมาร์ติงเกลและสะท้อนถึงลักษณะเชิงสาเหตุของกลยุทธ์และการควบคุม

ปริพันธ์อิโตแตกต่างจากปริพันธ์สตราโตโนวิชอย่างไร?

ปริพันธ์สตราโตโนวิชประเมินตัวถูกหาปริพันธ์ที่จุดกึ่งกลางและเป็นไปตามกฎลูกโซ่ทั่วไปแต่ไม่ใช่เป็นมาร์ติงเกล ในขณะที่ปริพันธ์อิโตใช้จุดสิ้นสุดด้านซ้าย เป็นมาร์ติงเกล และเป็นไปตามกฎลูกโซ่อิโตที่ปรับปรุงแล้ว ทั้งสองแตกต่างกันด้วยพจน์การแก้ไขที่เกี่ยวข้องกับความผันแปรกำลังสอง