การเคลื่อนที่แบบบราวน์และการคำนวณเชิงสุ่ม
การเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นกระบวนการสุ่มแบบเวลาต่อเนื่องที่เป็นแบบฉบับ และแคลคูลัสอิโตะที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานนี้ได้ให้กฎสำหรับการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ตลอดเส้นทางที่ขรุขระและไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ซึ่งเป็นภาษาของการสร้างแบบจำลองเชิงสุ่มสมัยใหม่
Definition
การเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นกระบวนการที่มีเส้นทางต่อเนื่องพร้อมการเพิ่มขึ้นแบบเกาส์เซียนที่เป็นอิสระและคงที่ และแคลคูลัสเชิงสุ่มคือทฤษฎีของการหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์โดยเทียบกับมันและมาร์ติงเกลต่อเนื่องที่เกี่ยวข้อง โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ปริพันธ์อิโตะและสูตรอิโตะ
Scope
ขอบเขตนี้ครอบคลุมการสร้างและการอธิบายคุณสมบัติของเส้นทางการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ลักษณะมาร์ติงเกลและมาร์คอฟของมัน ปริพันธ์เชิงสุ่มแบบอิโตะเทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์และมาร์ติงเกลต่อเนื่อง สูตรอิโตะในฐานะกฎลูกโซ่ของแคลคูลัสเชิงสุ่ม สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มและทฤษฎีการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของมัน และความเชื่อมโยงกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยผ่านสูตรไฟน์แมน-แคค
Sub-topics
Core questions
- การเคลื่อนที่แบบบราวน์ถูกสร้างขึ้นอย่างไร และมีคุณสมบัติของเส้นทางที่โดดเด่นอย่างไร?
- จะสามารถหาปริพันธ์เทียบกับกระบวนการที่มีเส้นทางที่มีความแปรปรวนไม่จำกัดได้อย่างไร?
- อะไรมาแทนที่กฎลูกโซ่ปกติเมื่อตัวดำเนินการหาปริพันธ์คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์?
- สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มถูกนิยามและแก้ไขได้อย่างไร?
Key theories
- ปริพันธ์อิโตะและสูตรอิโตะ
- ปริพันธ์อิโตะนิยามการหาปริพันธ์เทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์โดยใช้ความแปรปรวนกำลังสองของมัน และสูตรอิโตะคือกฎลูกโซ่ที่ได้ ซึ่งมีพจน์อันดับสองเพิ่มเติมที่สะท้อนว่าความแปรปรวนกำลังสองสะสมเป็นเชิงเส้นตามเวลา
- สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มและไฟน์แมน-แคค
- สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มที่ขับเคลื่อนโดยการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีผลเฉลยที่แข็งแกร่งและเป็นเอกลักษณ์ภายใต้เงื่อนไขลิปชิตซ์และการเติบโต และสูตรไฟน์แมน-แคคแสดงถึงผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลาที่เกี่ยวข้องในรูปของค่าคาดหวังเหนือการแพร่กระจายเหล่านี้
Clinical relevance
แคลคูลัสเชิงสุ่มเป็นรากฐานทางคณิตศาสตร์ของการเงินแบบเวลาต่อเนื่อง ซึ่งแบบจำลอง Black-Scholes กำหนดราคาออปชันผ่านกระบวนการอิโตะ และยังแพร่หลายในฟิสิกส์ ซึ่งใช้อธิบายการแพร่และการรบกวน ในวิศวกรรม ซึ่งเป็นพื้นฐานของการกรองและการควบคุมเชิงสุ่ม และในชีววิทยา ซึ่งใช้สร้างแบบจำลองพลวัตของประชากรและระบบประสาทภายใต้ความสุ่ม
History
การเคลื่อนที่แบบบราวน์ถูกสังเกตโดย Robert Brown ถูกสร้างแบบจำลองทางกายภาพโดย Einstein และ Smoluchowski และถูกสร้างขึ้นอย่างเคร่งครัดโดย Norbert Wiener ในปี 1923 Kiyosi Ito ได้สร้างปริพันธ์เชิงสุ่มและสูตรอิโตะขึ้นในทศวรรษ 1940 ซึ่งเป็นรากฐานของแคลคูลัสเชิงสุ่ม ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเงินเชิงคณิตศาสตร์
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- เหตุใดจึงไม่สามารถใช้แคลคูลัสปกติกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ได้?
- เส้นทางแบบบราวน์มีความต่อเนื่องแต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่และมีความแปรปรวนอนันต์ ดังนั้นปริพันธ์ Riemann-Stieltjes และกฎลูกโซ่ปกติจึงไม่สามารถใช้ได้ แคลคูลัสอิโตะเข้ามาแทนที่ด้วยการสร้างที่อิงตามความแปรปรวนกำลังสองที่จำกัดของเส้นทาง
- พจน์พิเศษในสูตรอิโตะคืออะไร?
- เนื่องจากการเพิ่มขึ้นกำลังสองของการเคลื่อนที่แบบบราวน์สะสมในอัตราที่แน่นอนแทนที่จะหายไป กฎลูกโซ่เชิงสุ่มจึงมีพจน์อนุพันธ์อันดับสองที่แปรผันตามเวลาที่ผ่านไป ซึ่งไม่มีความคล้ายคลึงในแคลคูลัสปกติ