มาร์ติงเกลและการหาปริพันธ์เชิงสุ่ม

มาร์ติงเกลแบบเวลาต่อเนื่อง พร้อมด้วยความแปรปรวนกำลังสองและการแยกส่วนประกอบออกเป็นส่วนที่คาดการณ์ได้และส่วนมาร์ติงเกล เป็นตัวหาปริพันธ์ที่ใช้สร้างปริพันธ์เชิงสุ่ม

Definition

ในเวลาต่อเนื่อง มาร์ติงเกลคือกระบวนการที่ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของการเพิ่มขึ้นมีค่าเป็นศูนย์ ความแปรปรวนกำลังสองของมาร์ติงเกลจะวัดการผันผวนสะสม การแยกส่วนประกอบแบบดูบ-เมเยอร์จะแบ่งซับมาร์ติงเกลออกเป็นส่วนที่เพิ่มขึ้นที่คาดการณ์ได้และส่วนมาร์ติงเกล และโครงสร้างเหล่านี้จะกำหนดการหาปริพันธ์เชิงสุ่มเทียบกับเซมิมาร์ติงเกล

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมมาร์ติงเกลแบบเวลาต่อเนื่องและมาร์ติงเกลเฉพาะที่ การแยกส่วนประกอบแบบดูบ-เมเยอร์ของซับมาร์ติงเกล ความแปรปรวนกำลังสองและกระบวนการวงเล็บ เซมิมาร์ติงเกลในฐานะกลุ่มตัวหาปริพันธ์ตามธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด การสร้างปริพันธ์เชิงสุ่มเทียบกับมาร์ติงเกล และทฤษฎีการแสดงมาร์ติงเกลที่แสดงมาร์ติงเกลแบบบราวน์ในรูปของปริพันธ์เชิงสุ่ม

Core questions

• มาร์ติงเกลแบบเวลาต่อเนื่องและมาร์ติงเกลเฉพาะที่ขยายกรณีแบบไม่ต่อเนื่องได้อย่างไร?
• ความแปรปรวนกำลังสองคืออะไร และเหตุใดจึงมีความสำคัญต่อการหาปริพันธ์เชิงสุ่ม?
• การแยกส่วนประกอบแบบดูบ-เมเยอร์ระบุส่วนมาร์ติงเกลของกระบวนการได้อย่างไร?
• เหตุใดเซมิมาร์ติงเกลจึงเป็นกลุ่มตัวหาปริพันธ์ตามธรรมชาติ และการแสดงมาร์ติงเกลให้อะไร?

Key theories

การแยกส่วนประกอบแบบดูบ-เมเยอร์และความแปรปรวนกำลังสอง

ซับมาร์ติงเกลจะแยกส่วนประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นมาร์ติงเกลเฉพาะที่บวกกับกระบวนการเพิ่มขึ้นที่คาดการณ์ได้ และความแปรปรวนกำลังสองของมาร์ติงเกลเฉพาะที่แบบต่อเนื่องคือกระบวนการที่คาดการณ์ได้ซึ่งการลบออกทำให้กำลังสองของมันเป็นมาร์ติงเกล ซึ่งให้การวัดความแปรปรวนสำหรับการหาปริพันธ์เชิงสุ่ม

ปริพันธ์เชิงสุ่มและการแสดงมาร์ติงเกล

ปริพันธ์เชิงสุ่มของกระบวนการที่คาดการณ์ได้เทียบกับมาร์ติงเกลที่หาปริพันธ์กำลังสองได้นั้นเป็นมาร์ติงเกลเองที่มีความแปรปรวนกำลังสองที่คำนวณได้ และทฤษฎีการแสดงมาร์ติงเกลแสดงให้เห็นว่ามาร์ติงเกลแบบบราวน์ทุกตัวเป็นปริพันธ์ดังกล่าว ซึ่งเป็นพื้นฐานของการป้องกันความเสี่ยงทางการเงิน

Clinical relevance

การหาปริพันธ์เชิงสุ่มโดยอาศัยมาร์ติงเกลเป็นรากฐานทางคณิตศาสตร์ของปริพันธ์อิโตและสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม ทฤษฎีการกรอง และการกำหนดราคาและการป้องกันความเสี่ยงที่ปราศจากการเก็งกำไรในคณิตศาสตร์การเงิน ซึ่งทฤษฎีการแสดงมาร์ติงเกลให้กลยุทธ์การจำลองแบบสำหรับตราสารอนุพันธ์

History

ดูบได้ตั้งข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับการแยกส่วนประกอบที่เมเยอร์ได้พิสูจน์ในปี 1962 โรงเรียนสตราสบูร์กภายใต้การนำของเมเยอร์ได้พัฒนาทฤษฎีทั่วไปของเซมิมาร์ติงเกลและการหาปริพันธ์เชิงสุ่มในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 และงานของคูนิตะและวาตานาเบะเกี่ยวกับมาร์ติงเกลที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ ได้รวมการหาปริพันธ์เทียบกับตัวหาปริพันธ์มาร์ติงเกลทั่วไปเข้าด้วยกัน

Key figures

• Joseph Doob
• Paul-Andre Meyer
• Kiyosi Ito
• Hiroshi Kunita

Seminal works

• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

เหตุใดจึงต้องหาปริพันธ์เทียบกับมาร์ติงเกลแทนที่จะเป็นฟังก์ชันธรรมดา?

วิถีของมาร์ติงเกลมีความไม่สม่ำเสมอเกินกว่าที่จะหาปริพันธ์ในความหมายปกติได้ แต่การผันผวนที่ควบคุมได้ ซึ่งวัดโดยความแปรปรวนกำลังสอง ช่วยให้สามารถหาปริพันธ์เชิงความน่าจะเป็นซึ่งเป็นมาร์ติงเกลเองและเป็นพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงสุ่ม

ความแปรปรวนกำลังสองคืออะไร?

คือลิมิตของผลรวมกำลังสองของการเพิ่มขึ้นของกระบวนการในช่วงแบ่งย่อยที่ละเอียดขึ้น สำหรับวิถีมาร์ติงเกล โดยทั่วไปแล้วจะมีค่าไม่เป็นศูนย์และทำหน้าที่เป็นนาฬิกาความแปรปรวนตามธรรมชาติสำหรับการหาปริพันธ์เชิงสุ่ม