การเคลื่อนที่แบบบราวน์และแคลคูลัสเชิงสุ่ม
การเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีส่วนเพิ่มที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงแบบเกาส์เซียน แคลคูลัสเชิงสุ่มที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานนี้ได้ให้กฎสำหรับการหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ตามเส้นทางที่ผิดปกติของมัน
Definition
การเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นกระบวนการต่อเนื่องตามเวลาที่มีส่วนเพิ่มแบบเกาส์เซียนที่เป็นอิสระและคงที่ และมีเส้นทางที่ต่อเนื่องแต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ส่วนแคลคูลัสเชิงสุ่มคือทฤษฎีของการหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ที่สัมพันธ์กับกระบวนการดังกล่าว โดยมีปริพันธ์ของ Ito และสูตรการเปลี่ยนตัวแปรของ Ito เป็นแกนหลัก
Scope
ขอบเขตนี้ครอบคลุมกระบวนการ Wiener และคุณสมบัติของเส้นทาง, ปริพันธ์เชิงสุ่มของ Ito และสูตรของ Ito, สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มและกระบวนการแพร่, ความเชื่อมโยงกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยผ่าน Feynman-Kac และสมการ Fokker-Planck, การเปลี่ยนมาตรวัดของ Girsanov, และการขยายไปสู่กระบวนการ Levy ที่มีการกระโดด
Sub-topics
Core questions
- คุณสมบัติใดที่บ่งบอกถึงการเคลื่อนที่แบบบราวน์และทำให้เส้นทางของมันไม่สม่ำเสมอ?
- ปริพันธ์ถูกนิยามอย่างไรกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์แม้จะมีความแปรผันไม่สิ้นสุด?
- สูตรของ Ito คืออะไร และเข้ามาแทนที่กฎลูกโซ่ปกติได้อย่างไร?
- สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มและกระบวนการ Levy ขยายกรอบแนวคิดนี้อย่างไร?
Key theories
- ปริพันธ์ของ Ito และสูตรของ Ito
- ปริพันธ์ของ Ito นิยามการหาปริพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบบราวน์โดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของมาร์ติงเกลและความแปรปรวนกำลังสองที่เท่ากับเวลาที่ผ่านไป และสูตรของ Ito ให้กฎการเปลี่ยนตัวแปรที่มีพจน์อนุพันธ์อันดับสองเพิ่มเติมที่สะท้อนถึงความแปรปรวนนั้น
- การแพร่และความเชื่อมโยงกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
- ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มคือการแพร่แบบมาร์คอฟซึ่งความหนาแน่นของการเปลี่ยนสถานะเป็นผลเฉลยของสมการ Fokker-Planck และสมการ Kolmogorov ย้อนหลัง และสูตร Feynman-Kac แสดงผลเฉลยของสมการพาราโบลาเป็นการคาดการณ์บนเส้นทางการแพร่
Clinical relevance
การเคลื่อนที่แบบบราวน์และแคลคูลัสเชิงสุ่มใช้จำลองการแพร่ของอนุภาคและความร้อน, ความผันผวนแบบสุ่มของราคาหลักทรัพย์ในทฤษฎี Black-Scholes ของการกำหนดราคาออปชัน, สัญญาณรบกวนในระบบทางฟิสิกส์และวิศวกรรม, และการกรองสัญญาณรบกวน ทำให้เป็นสิ่งจำเป็นในสาขาฟิสิกส์, การเงิน, และการควบคุม
History
บราวน์สังเกตการเคลื่อนที่ที่ผิดปกติของละอองเกสรในปี 1827, ไอน์สไตน์และสโมลูโชวสกีได้ให้ทฤษฎีทางฟิสิกส์ประมาณปี 1905, บาเชลิเยร์ได้นำไปใช้กับการเงินแล้วในปี 1900, วีนเนอร์สร้างขึ้นอย่างเคร่งครัดในปี 1923, และอิโตสร้างแคลคูลัสเชิงสุ่มในปี 1940 ซึ่งเปลี่ยนให้เป็นเครื่องมือในการคำนวณ
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- เหตุใดแคลคูลัสปกติจึงไม่สามารถใช้กับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ได้?
- เส้นทางแบบบราวน์มีความแปรปรวนรวมไม่สิ้นสุดและไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ดังนั้นปริพันธ์ปกติและกฎลูกโซ่แบบคลาสสิกจึงใช้ไม่ได้ แคลคูลัสเชิงสุ่มของ Ito ได้จัดหาสิ่งทดแทนที่คำนึงถึงความแปรปรวนกำลังสอง
- สูตรของ Ito คืออะไร?
- เป็นอนาล็อกเชิงสุ่มของกฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันของการเคลื่อนที่แบบบราวน์หรือการแพร่ ซึ่งรวมถึงพจน์เพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับสองที่เกิดขึ้นจากความแปรปรวนกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ของเส้นทาง