อสมการมาร์ติงเกล
อสมการมาร์ติงเกลกำหนดขอบเขตว่ามาร์ติงเกลสามารถเติบโตได้มากเพียงใดตลอดประวัติของมันเมื่อเทียบกับค่าสุดท้าย โดยเปลี่ยนการควบคุมจุดสิ้นสุดไปสู่การควบคุมวิถีสุ่มทั้งหมด
Definition
อสมการมาร์ติงเกลคือขอบเขตที่ควบคุมค่าสูงสุดที่เกิดขึ้นหรือความผันผวนของมาร์ติงเกลหรือซับมาร์ติงเกล โดยทั่วไปจะพิจารณาจากค่าปลายทาง ส่วนเพิ่ม หรือการแปรผันกำลังสองของมัน
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมอสมการค่าสูงสุดของดูบ (Doob's maximal inequality) ซึ่งจำกัดความน่าจะเป็นที่ซับมาร์ติงเกลจะเกินระดับที่กำหนด อสมการ Lp ของดูบ (Doob's Lp inequality) ซึ่งจำกัดค่าสูงสุดในค่าเฉลี่ยกำลัง p สำหรับ p ที่มากกว่าหนึ่ง อสมการอาซูมา-ฮอฟฟ์ดิง (Azuma-Hoeffding inequality) ซึ่งให้การกระจุกตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับมาร์ติงเกลที่มีส่วนเพิ่มที่จำกัด และอสมการเบิร์กโฮลเดอร์-เดวิส-กันดี (Burkholder-Davis-Gundy inequalities) ซึ่งเชื่อมโยงค่าสูงสุดของมาร์ติงเกลกับการแปรผันกำลังสองของมัน
Core questions
- ความน่าจะเป็นที่มาร์ติงเกลจะข้ามระดับสูงสามารถจำกัดได้อย่างไร?
- ค่าที่มากที่สุดของมาร์ติงเกลถูกควบคุมในค่าเฉลี่ยกำลัง p ได้อย่างไร?
- เมื่อใดที่มาร์ติงเกลที่มีส่วนเพิ่มที่จำกัดจะกระจุกตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลรอบค่าเฉลี่ยของมัน?
- ขนาดของมาร์ติงเกลเกี่ยวข้องกับการแปรผันกำลังสองสะสมของมันอย่างไร?
Key concepts
- อสมการค่าสูงสุดของดูบ
- อสมการ Lp ของดูบ
- การกระจุกตัวของอาซูมา-ฮอฟฟ์ดิง
- การแปรผันกำลังสอง
- อสมการเบิร์กโฮลเดอร์-เดวิส-กันดี
Key theories
- อสมการค่าสูงสุดและ Lp ของดูบ
- ความน่าจะเป็นที่ซับมาร์ติงเกลที่ไม่เป็นลบจะเกินระดับที่กำหนดถูกจำกัดโดยค่าเฉลี่ยปลายทางหารด้วยระดับนั้น และสำหรับ p ที่มากกว่าหนึ่ง ค่าเฉลี่ยกำลัง p ของค่าสูงสุดที่เกิดขึ้นจะถูกควบคุมโดยค่าคงที่คูณด้วยค่าเฉลี่ยกำลัง p ของค่าปลายทาง ซึ่งเป็นการขยายอสมการของมาร์คอฟไปสู่เส้นทางทั้งหมด
- อสมการอาซูมา-ฮอฟฟ์ดิง
- มาร์ติงเกลที่มีส่วนเพิ่มต่อเนื่องที่จำกัดจะเบี่ยงเบนจากค่าเริ่มต้นด้วยปริมาณที่กำหนดด้วยความน่าจะเป็นที่ลดลงคล้ายกับหางแบบเกาส์เซียน ซึ่งให้ขอบเขตการกระจุกตัวที่คมชัดสำหรับผลรวมที่มีการพึ่งพาที่จำกัด
- อสมการเบิร์กโฮลเดอร์-เดวิส-กันดี
- สำหรับแต่ละเลขชี้กำลัง ค่าเฉลี่ยกำลัง p ของค่าสูงสุดของมาร์ติงเกลสามารถเปรียบเทียบได้ (โดยมีค่าคงที่สากล) กับค่าเฉลี่ยกำลัง p ของรากที่สองของการแปรผันกำลังสองของมัน ซึ่งเชื่อมโยงขนาดของมาร์ติงเกลกับความแปรปรวนสะสมของมัน และเป็นรากฐานของการหาปริพันธ์เชิงสุ่ม
Clinical relevance
อสมการมาร์ติงเกลมีความสำคัญต่อการวิเคราะห์ความน่าจะเป็นสมัยใหม่: ขอบเขตการกระจุกตัวของอาซูมา-ฮอฟฟ์ดิง (Azuma-Hoeffding concentration bounds) จำกัดการเบี่ยงเบนของปริมาณสุ่มที่ซับซ้อนในการวิเคราะห์อัลกอริทึมและการเรียนรู้ของเครื่อง อสมการของดูบ (Doob's inequalities) ควบคุมค่าสูงสุดในการลู่เข้าของกระบวนการสุ่ม และอสมการเบิร์กโฮลเดอร์-เดวิส-กันดี (Burkholder-Davis-Gundy inequalities) มีความจำเป็นต่อการสร้างและการประมาณค่าปริพันธ์เชิงสุ่ม
History
อสมการค่าสูงสุดของดูบ (Doob's maximal inequalities) เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีมาร์ติงเกลที่เป็นรากฐานของเขา ขอบเขตการกระจุกตัวของฮอฟฟ์ดิง (Hoeffding's concentration bounds) สำหรับผลรวมได้รับการขยายไปสู่มาร์ติงเกลโดยอาซูมาในปี 1967 และเบิร์กโฮลเดอร์ เดวิส และกันดี ได้สร้างความเท่าเทียมกันของค่าสูงสุดของมาร์ติงเกลและการแปรผันกำลังสองในปี 1970 ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของการวิเคราะห์เชิงสุ่ม
Key figures
- Joseph L. Doob
- Kazuoki Azuma
- Wassily Hoeffding
- Donald Burkholder
Related topics
Seminal works
- doob1953
Frequently asked questions
- เหตุใดอสมการค่าสูงสุดจึงมีคุณค่ามาก?
- การอ้างเหตุผลหลายอย่างจำเป็นต้องควบคุมค่าสูงสุดที่กระบวนการสุ่มเคยมี ไม่ใช่แค่ค่า ณ เวลาที่กำหนดเท่านั้น อสมการค่าสูงสุดของดูบให้การควบคุมนี้ตลอดเส้นทางทั้งหมดโดยใช้เพียงข้อมูลเกี่ยวกับจุดสิ้นสุด
- อสมการอาซูมา-ฮอฟฟ์ดิงเพิ่มอะไรเหนืออสมการเชบีเชฟ?
- เชบีเชฟให้ขอบเขตหางที่ลดลงแบบพหุนามจากความแปรปรวนเท่านั้น ในขณะที่อาซูมา-ฮอฟฟ์ดิงให้ขอบเขตแบบเกาส์เซียนที่ลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับมาร์ติงเกลที่มีส่วนเพิ่มที่จำกัด ซึ่งคมชัดกว่ามากสำหรับการเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ที่หายาก