แคลคูลัสอิโตและการหาปริพันธ์เชิงสุ่ม
แคลคูลัสอิโตขยายแนวคิดของการหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ไปยังกระบวนการที่ขับเคลื่อนด้วยการเคลื่อนที่แบบบราวน์ โดยแทนที่กฎลูกโซ่แบบปกติด้วยสูตรของอิโต ซึ่งมีพจน์พิเศษที่มาจากความแปรปรวนกำลังสอง
Definition
ปริพันธ์อิโตคือปริพันธ์เชิงสุ่มของกระบวนการที่คาดการณ์ได้เทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ซึ่งถูกนิยามให้เป็นมาร์ติงเกลที่มีความแปรปรวนตามสมบัติไอโซเมตรีของอิโต และสูตรของอิโตคือกฎการเปลี่ยนตัวแปรที่ได้มา ซึ่งเพิ่มพจน์อนุพันธ์อันดับสองที่สะท้อนถึงความแปรปรวนกำลังสองของตัวหาปริพันธ์
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างปริพันธ์อิโตในฐานะลิมิตของผลรวมรีมันน์แบบจุดปลายซ้ายเทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์, สมบัติไอโซเมตรีของอิโต, คุณสมบัติมาร์ติงเกลของปริพันธ์, สูตรของอิโตสำหรับฟังก์ชันของการแพร่, กฎหลายมิติและกฎผลคูณ, การเปรียบเทียบกับปริพันธ์สตราโตโนวิช, และแคลคูลัสความแปรปรวนกำลังสองที่แยกความแตกต่างระหว่างการหาปริพันธ์เชิงสุ่มกับการหาปริพันธ์แบบปกติ
Core questions
- ปริพันธ์อิโตถูกสร้างขึ้นอย่างไร และเหตุใดจึงต้องใช้จุดปลายซ้าย?
- สมบัติไอโซเมตรีของอิโตคืออะไร และควบคุมความแปรปรวนของปริพันธ์ได้อย่างไร?
- พจน์พิเศษใดที่แยกสูตรของอิโตออกจากกฎลูกโซ่แบบปกติ?
- ปริพันธ์อิโตแตกต่างจากปริพันธ์สตราโตโนวิชอย่างไร?
Key theories
- ปริพันธ์อิโตและสมบัติไอโซเมตรีของอิโต
- การนิยามปริพันธ์ด้วยการประเมินค่าที่จุดปลายซ้ายทำให้เป็นมาร์ติงเกล และสมบัติไอโซเมตรีของอิโตทำให้ค่าคาดหวังของปริพันธ์กำลังสองเท่ากับค่าคาดหวังของปริพันธ์ของตัวถูกหาปริพันธ์กำลังสอง ซึ่งทำให้ปริพันธ์มีโครงสร้าง L2 และความเสถียร
- สูตรของอิโต
- สำหรับฟังก์ชันเรียบของการแพร่ สูตรของอิโตแสดงความแตกต่างในรูปของพจน์เกรเดียนต์ปกติบวกกับการแก้ไขที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับสองและความแปรปรวนกำลังสอง ซึ่งเป็นกฎที่ทำให้แคลคูลัสเชิงสุ่มสามารถคำนวณได้และนำไปสู่สมการแบล็ก-โชลส์
Clinical relevance
แคลคูลัสอิโตเป็นภาษาที่ใช้ในคณิตศาสตร์การเงิน โดยที่สูตรของอิโตใช้ในการอนุพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยของแบล็ก-โชลส์และกลยุทธ์การป้องกันความเสี่ยง และยังใช้ในการควบคุมเชิงสุ่ม, การกรอง, และฟิสิกส์ ในกรณีที่ระบบถูกจำลองว่าขับเคลื่อนด้วยสัญญาณรบกวนสีขาวแบบเกาส์เซียน
History
อิโตได้นำเสนอแนวคิดปริพันธ์เชิงสุ่มและสูตรการเปลี่ยนตัวแปรของเขาในบทความปี 1944 และ 1951 เพื่อสร้างกระบวนการแพร่ สตราโตโนวิชและฟิสก์ได้เสนอทางเลือกอื่นของปริพันธ์ที่สอดคล้องกับกฎลูกโซ่แบบปกติในภายหลัง และทั้งสองรูปแบบได้ถูกนำมาประนีประนอมกันเมื่อทฤษฎีพัฒนาขึ้นผ่านผลงานของแมคคีน, เมเยอร์ และคนอื่นๆ
Key figures
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
Frequently asked questions
- เหตุใดสูตรของอิโตจึงมีพจน์พิเศษ?
- เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีความแปรปรวนกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ พจน์อันดับสองในการกระจายเทย์เลอร์จึงไม่หายไปในลิมิต ทำให้มีการแก้ไขครึ่งหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสองที่ไม่มีในแคลคูลัสปกติ
- ปริพันธ์อิโตและปริพันธ์สตราโตโนวิชแตกต่างกันอย่างไร?
- ปริพันธ์อิโตประเมินตัวถูกหาปริพันธ์ที่จุดปลายซ้ายและเป็นมาร์ติงเกล ในขณะที่ปริพันธ์สตราโตโนวิชใช้จุดกึ่งกลางและเป็นไปตามกฎลูกโซ่ปกติ ทั้งสองแตกต่างกันด้วยพจน์การแก้ไขและเหมาะสำหรับการใช้งานที่แตกต่างกัน