Cálculo de Itō e Integração Estocástica
O cálculo de Itō estende a integração e a diferenciação a processos impulsionados pelo movimento browniano, substituindo a regra da cadeia ordinária pela fórmula de Itō, que inclui um termo extra da variação quadrática.
Definition
A integral de Itō é a integral estocástica de um processo previsível em relação ao movimento browniano, definida de modo que seja um martingal com variância dada pela isometria de Itō, e a fórmula de Itō é a regra de mudança de variáveis resultante que adiciona um termo de segunda derivada refletindo a variação quadrática do integrador.
Scope
Este tópico abrange a construção da integral de Itō como um limite de somas de Riemann de ponto final esquerdo em relação ao movimento browniano, a isometria de Itō, a propriedade de martingal da integral, a fórmula de Itō para funções de difusões, as regras multidimensionais e do produto, a comparação com a integral de Stratonovich e o cálculo da variação quadrática que distingue a integração estocástica da integração ordinária.
Core questions
- Como a integral de Itō é construída e por que os pontos finais esquerdos devem ser usados?
- O que é a isometria de Itō e como ela controla a variância da integral?
- Que termo extra distingue a fórmula de Itō da regra da cadeia ordinária?
- Como a integral de Itō difere da integral de Stratonovich?
Key theories
- Integral de Itō e a isometria de Itō
- A definição da integral com avaliações no ponto final esquerdo a torna um martingal, e a isometria de Itō iguala o quadrado esperado da integral com a integral esperada do integrando ao quadrado, conferindo à integral sua estrutura e estabilidade L2.
- Fórmula de Itō
- Para uma função suave de uma difusão, a fórmula de Itō expressa o diferencial como o termo gradiente usual mais uma correção envolvendo a segunda derivada e a variação quadrática, a regra que torna o cálculo estocástico computacional e produz a equação de Black-Scholes.
Clinical relevance
O cálculo de Itō é a linguagem de trabalho das finanças matemáticas, onde a fórmula de Itō deriva a equação diferencial parcial de Black-Scholes e as estratégias de hedge, e do controle estocástico, filtragem e física, onde quer que os sistemas sejam modelados como impulsionados por ruído branco gaussiano.
History
Itō introduziu a integral estocástica e sua fórmula de mudança de variáveis em artigos de 1944 e 1951 para construir processos de difusão. Stratonovich e Fisk propuseram posteriormente uma integral alternativa que obedece à regra da cadeia ordinária, e as duas formulações foram reconciliadas à medida que a teoria amadureceu através do trabalho de McKean, Meyer e outros.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
Frequently asked questions
- Por que a fórmula de Itō tem um termo extra?
- Como o movimento browniano tem variação quadrática não nula, o termo de segunda ordem em uma expansão de Taylor não desaparece no limite, adicionando uma correção de metade da segunda derivada ausente no cálculo ordinário.
- Qual é a diferença entre as integrais de Itō e Stratonovich?
- A integral de Itō avalia o integrando no ponto final esquerdo e é um martingal, enquanto a integral de Stratonovich usa o ponto médio e obedece à regra da cadeia ordinária; elas diferem por um termo de correção e são adequadas para diferentes aplicações.