Equações Diferenciais Estocásticas

Uma equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema sujeito a uma deriva determinística e a uma flutuação aleatória impulsionada pelo movimento Browniano, definindo um processo de difusão.

Definition

Uma equação diferencial estocástica especifica o diferencial de um processo como um coeficiente de deriva multiplicado por um incremento de tempo mais um coeficiente de difusão multiplicado por um incremento Browniano, e sua solução é um processo de difusão cuja lei é governada pelo operador diferencial de segunda ordem associado.

Scope

Este tópico abrange a interpretação de equações diferenciais estocásticas como equações integrais de Ito, a existência e unicidade de soluções fortes sob condições de Lipschitz e crescimento, a distinção entre soluções fortes e fracas, o gerador da difusão e sua ligação com as equações de Fokker-Planck e Kolmogorov retrógrada, os teoremas de Feynman-Kac e Girsanov, e esquemas numéricos como os métodos de Euler-Maruyama e Milstein.

Core questions

• Como uma equação diferencial estocástica é interpretada como uma equação integral de Ito?
• Quais condições garantem a existência e unicidade de uma solução?
• Como o gerador da difusão está ligado a equações diferenciais parciais?
• Como as soluções são aproximadas numericamente e com que precisão?

Key theories

Existência e unicidade de soluções fortes

Sob continuidade de Lipschitz e crescimento linear dos coeficientes de deriva e difusão, a equação diferencial estocástica possui uma solução forte única que é uma difusão de Markov contínua, estabelecida por uma iteração do tipo Picard usando a isometria de Ito.

Feynman-Kac e o gerador

O gerador infinitesimal da difusão é um operador elíptico de segunda ordem, sua densidade de transição resolve a equação de Fokker-Planck, e a fórmula de Feynman-Kac representa soluções de equações diferenciais parciais parabólicas como expectativas de funcionais da difusão.

Clinical relevance

Equações diferenciais estocásticas modelam preços de ativos, taxas de juros e volatilidade em finanças, a dinâmica ruidosa de sistemas físicos, químicos e biológicos, e modelos populacionais e epidêmicos com aleatoriedade ambiental, enquanto sua solução numérica por Euler-Maruyama e esquemas relacionados permite precificação e simulação de Monte Carlo.

History

Ito introduziu as equações diferenciais estocásticas na década de 1940 para construir processos de difusão cujos geradores são operadores elípticos prescritos, Stroock e Varadhan reformularam o assunto através do problema do martingal nas décadas de 1960 e 1970, e a análise numérica dessas equações foi sistematizada por Kloeden e Platen na década de 1990.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Bernt Oksendal
• Daniel Stroock
• Srinivasa Varadhan

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

O que uma equação diferencial estocástica descreve?

Ela descreve um processo que se move sob uma deriva previsível mais impulsos aleatórios do movimento Browniano, produzindo uma difusão cuja distribuição de probabilidade evolui de acordo com uma equação diferencial parcial associada.

Qual é a diferença entre uma solução forte e uma solução fraca?

Uma solução forte é construída sobre um dado movimento Browniano e filtração, enquanto uma solução fraca requer apenas a existência de algum movimento Browniano e processo com a lei prescrita; soluções fracas podem existir quando as fortes não.