Movimento Browniano e Cálculo Estocástico
O movimento browniano é o processo aleatório canônico de tempo contínuo, e o cálculo de Itō construído sobre ele fornece as regras para diferenciar e integrar ao longo de seus caminhos irregulares e em nenhum lugar diferenciáveis, a linguagem da modelagem estocástica moderna.
Definition
O movimento browniano é um processo de caminho contínuo com incrementos gaussianos estacionários independentes, e o cálculo estocástico é a teoria da integração e diferenciação em relação a ele e martingais contínuos relacionados, centrado na integral de Itō e na fórmula de Itō.
Scope
A área abrange a construção e as propriedades de caminho do movimento browniano, suas caracterizações de martingal e Markov, a integral estocástica de Itō em relação ao movimento browniano e martingais contínuos, a fórmula de Itō como a regra da cadeia do cálculo estocástico, equações diferenciais estocásticas e sua teoria de existência e unicidade, e conexões com equações diferenciais parciais através da fórmula de Feynman-Kac.
Sub-topics
Core questions
- Como o movimento browniano é construído e quais são suas notáveis propriedades de caminho?
- Como se pode integrar em relação a um processo cujos caminhos possuem variação ilimitada?
- O que substitui a regra da cadeia ordinária quando o integrador é o movimento browniano?
- Como as equações diferenciais estocásticas são definidas e resolvidas?
Key theories
- Integral de Itō e fórmula de Itō
- A integral de Itō define a integração em relação ao movimento browniano usando sua variação quadrática, e a fórmula de Itō é a regra da cadeia resultante, que carrega um termo extra de segunda ordem refletindo que a variação quadrática se acumula linearmente no tempo.
- Equações diferenciais estocásticas e Feynman-Kac
- Equações diferenciais estocásticas impulsionadas pelo movimento browniano possuem soluções fortes únicas sob condições de Lipschitz e crescimento, e a fórmula de Feynman-Kac representa soluções de equações diferenciais parciais parabólicas associadas como expectativas sobre essas difusões.
Clinical relevance
O cálculo estocástico é o fundamento matemático das finanças em tempo contínuo, onde o modelo de Black-Scholes precifica opções através de um processo de Itō, e permeia a física, onde descreve difusão e ruído, a engenharia, onde fundamenta a filtragem e o controle estocástico, e a biologia, onde modela a dinâmica populacional e neural sob aleatoriedade.
History
O movimento browniano foi observado por Robert Brown, modelado fisicamente por Einstein e Smoluchowski, e construído rigorosamente por Norbert Wiener em 1923. Kiyosi Itō criou a integral estocástica e a fórmula de Itō na década de 1940, fundando o cálculo estocástico, que mais tarde se tornou indispensável para as finanças matemáticas.
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- Por que o cálculo ordinário não pode ser usado com o movimento browniano?
- Os caminhos brownianos são contínuos, mas em nenhum lugar diferenciáveis e possuem variação infinita, de modo que a integral de Riemann-Stieltjes usual e a regra da cadeia não se aplicam; o cálculo de Itō as substitui por construções baseadas na variação quadrática finita dos caminhos.
- Qual é o termo extra na fórmula de Itō?
- Como os incrementos quadrados do movimento browniano se acumulam a uma taxa definida em vez de desaparecerem, a regra da cadeia estocástica inclui um termo de segunda derivada proporcional ao tempo decorrido, que não tem análogo no cálculo ordinário.