Movimento Browniano e Cálculo Estocástico
O movimento browniano é o processo aleatório contínuo cujos incrementos são independentes e Gaussianos; o cálculo estocástico construído sobre ele fornece as regras para integrar e diferenciar ao longo de seus caminhos erráticos.
Definition
O movimento browniano é um processo de tempo contínuo com incrementos Gaussianos estacionários independentes e caminhos contínuos não-diferenciáveis em nenhum ponto, e o cálculo estocástico é a teoria da integração e diferenciação em relação a tais processos, centrada na integral de Ito e na fórmula de mudança de variáveis de Ito.
Scope
Esta área abrange o processo de Wiener e suas propriedades de caminho, a integral estocástica de Ito e a fórmula de Ito, equações diferenciais estocásticas e processos de difusão, a ligação com equações diferenciais parciais através de Feynman-Kac e da equação de Fokker-Planck, a mudança de medida de Girsanov e a extensão para processos de Levy com saltos.
Sub-topics
Core questions
- Quais propriedades caracterizam o movimento browniano e tornam seus caminhos tão irregulares?
- Como a integração é definida em relação ao movimento browniano, apesar de sua variação infinita?
- O que é a fórmula de Ito e como ela substitui a regra da cadeia comum?
- Como as equações diferenciais estocásticas e os processos de Levy estendem a estrutura?
Key theories
- Integral de Ito e fórmula de Ito
- A integral de Ito define a integração em relação ao movimento browniano explorando a propriedade de martingala e a variação quadrática que é igual ao tempo decorrido, e a fórmula de Ito fornece uma regra de mudança de variáveis com um termo extra de segunda derivada que reflete essa variação.
- Difusões e a ligação com equações diferenciais parciais
- As soluções de equações diferenciais estocásticas são difusões de Markov cujas densidades de transição resolvem as equações de Fokker-Planck e de Kolmogorov regressiva, e a fórmula de Feynman-Kac representa soluções de equações parabólicas como expectativas sobre caminhos de difusão.
Clinical relevance
O movimento browniano e o cálculo estocástico modelam a difusão de partículas e calor, a flutuação aleatória dos preços de ativos na teoria de Black-Scholes de precificação de opções, ruído em sistemas físicos e de engenharia, e filtragem de sinais ruidosos, tornando-os indispensáveis em física, finanças e controle.
History
Brown observou o movimento errático de grãos de pólen em 1827, Einstein e Smoluchowski apresentaram sua teoria física por volta de 1905, Bachelier já o havia utilizado para finanças em 1900, Wiener o construiu rigorosamente em 1923, e Ito criou o cálculo estocástico na década de 1940, transformando-o em uma ferramenta computacional.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- Por que o cálculo ordinário não pode ser usado para o movimento browniano?
- Os caminhos brownianos têm variação total infinita e não são diferenciáveis em nenhum ponto, então as integrais ordinárias e a regra da cadeia clássica falham; o cálculo estocástico de Ito fornece substitutos que consideram a variação quadrática.
- O que é a fórmula de Ito?
- É o análogo estocástico da regra da cadeia para funções de movimento browniano ou difusões, incluindo um termo adicional envolvendo a segunda derivada que surge da variação quadrática não nula dos caminhos.