Processo de Wiener

O processo de Wiener é o modelo matemático rigoroso do movimento browniano: um processo contínuo que começa em zero, cujos incrementos em intervalos disjuntos são independentes e normalmente distribuídos com variância igual ao tempo decorrido.

Definition

O processo de Wiener é um processo estocástico com trajetórias contínuas que começam na origem, com incrementos independentes, e com o incremento em qualquer intervalo normalmente distribuído com média zero e variância igual ao comprimento do intervalo, fornecendo o modelo canônico do movimento browniano.

Scope

Este tópico abrange as propriedades definidoras do processo de Wiener, sua existência e a construção de Wiener, a continuidade, mas não diferenciabilidade de suas trajetórias, sua variação quadrática igual ao tempo decorrido, a forte propriedade de Markov e o princípio de reflexão, invariâncias de escala e inversão de tempo, e a lei do logaritmo iterado que descreve suas flutuações finas.

Core questions

• Quais axiomas definem o processo de Wiener e garantem sua existência?
• Por que suas trajetórias são contínuas, mas não diferenciáveis em nenhum ponto?
• Qual é sua variação quadrática e por que ela é igual ao tempo decorrido?
• Como o princípio de reflexão e a forte propriedade de Markov descrevem seu comportamento?

Key theories

Propriedades da trajetória e variação quadrática

As trajetórias do processo de Wiener são quase certamente contínuas, mas não diferenciáveis em nenhum ponto e de variação total infinita, mas sua variação quadrática em qualquer intervalo é igual ao comprimento do intervalo, a propriedade que torna possível a integração estocástica.

Forte propriedade de Markov e princípio de reflexão

O processo recomeça em tempos de parada, e refletir a trajetória depois que ela atinge um nível pela primeira vez fornece a distribuição do máximo corrente e dos tempos de primeira passagem, uma ferramenta poderosa para cálculos de tempo de acerto.

Clinical relevance

O processo de Wiener modela o movimento térmico de partículas microscópicas, serve como ruído de condução em equações diferenciais estocásticas e no modelo de Black-Scholes de preços de ativos, aparece como o limite de escala de caminhadas aleatórias através do princípio de invariância de Donsker, e fundamenta modelos de sinal-mais-ruído em engenharia.

History

Bachelier modelou os preços das ações com o processo em 1900 e Einstein apresentou sua teoria física em 1905, mas foi Wiener quem, em 1923, provou que uma medida de probabilidade com as propriedades exigidas existe no espaço de funções contínuas, após o que Levy e outros mapearam suas notáveis propriedades de trajetória.

Key figures

• Norbert Wiener
• Albert Einstein
• Louis Bachelier
• Paul Levy

Seminal works

• morters2010

Frequently asked questions

O processo de Wiener é o mesmo que o movimento browniano?

Sim; o processo de Wiener é a definição matematicamente rigorosa do movimento browniano, nomeado em homenagem a Norbert Wiener, que o construiu pela primeira vez como uma medida em trajetórias contínuas.

Como uma trajetória pode ser contínua, mas não diferenciável em nenhum ponto?

A trajetória nunca salta, portanto é contínua, mas oscila tão violentamente em todas as escalas que nenhuma direção tangente existe em qualquer ponto, razão pela qual sua variação total é infinita.