A Integral de Itō

A integral de Itō permite integrar um processo aleatório em relação ao movimento browniano, uma tarefa que o cálculo ordinário não consegue realizar porque as trajetórias brownianas possuem variação infinita, explorando sua variação quadrática finita e uma escolha inteligente de pontos de avaliação.

Definition

A integral de Itō de um processo previsível em relação ao movimento browniano é o limite, em média quadrática, de somas aproximadoras que avaliam o integrando no ponto final esquerdo de cada subintervalo, definida primeiramente para integrandos simples e estendida pela isometria de Itō.

Scope

O tópico abrange a construção da integral de Itō, primeiramente para integrandos previsíveis simples e, em seguida, pela isometria de Itō para integrandos quadrado-integráveis, a extensão para martingales locais contínuos, a propriedade de martingale da integral e sua variação quadrática, o contraste entre as convenções de Itō e Stratonovich, e o papel da previsibilidade e da escolha não antecipatória dos pontos finais esquerdos.

Core questions

• Por que a integração em relação ao movimento browniano exige uma nova definição?
• Como a isometria de Itō faz a construção funcionar?
• Por que o integrando deve ser avaliado no ponto final esquerdo, e o que a previsibilidade garante?
• Como a integral de Itō difere da integral de Stratonovich?

Key concepts

• integrando previsível
• isometria de Itō
• variação quadrática
• propriedade de martingale
• Itō versus Stratonovich

Key theories

Isometria e construção de Itō

Para integrandos previsíveis quadrado-integráveis, a média quadrática da integral de Itō é igual à integral temporal esperada do integrando ao quadrado, uma isometria que permite que a integral seja definida para processos simples e estendida por completude a uma grande classe de integrandos.

Propriedade de martingale da integral

A integral de Itō de um processo previsível adequado em relação ao movimento browniano é ela própria um martingale contínuo com variação quadrática dada pela integral temporal do integrando ao quadrado, o que torna a convenção do ponto final esquerdo, não antecipatória, a mais natural.

Clinical relevance

A integral de Itō é o objeto matemático que representa os ganhos de uma estratégia de negociação continuamente reequilibrada em finanças matemáticas, o efeito acumulado do ruído em modelos de sistemas físicos e biológicos, e o termo de inovações na filtragem estocástica; sua propriedade de martingale é a base analítica da precificação sem arbitragem.

History

Kiyosi Itō definiu a integral estocástica na década de 1940 para dar sentido a equações diferenciais impulsionadas pelo movimento browniano, e Stratonovich introduziu posteriormente uma convenção alternativa com comportamento de regra da cadeia ordinária; a construção de Itō, com sua propriedade de martingale, tornou-se o padrão para probabilidade e finanças.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

Por que o integrando é avaliado no ponto final esquerdo?

Usar o ponto final esquerdo mantém o integrando não antecipatório, de modo que ele não pode antever o incremento futuro do movimento browniano; é isso que torna a integral resultante um martingale e reflete a natureza causal das estratégias e controles.

Como a integral de Itō difere da integral de Stratonovich?

A integral de Stratonovich avalia o integrando no ponto médio e obedece à regra da cadeia ordinária, mas não é um martingale, enquanto a integral de Itō usa o ponto final esquerdo, é um martingale e obedece à regra da cadeia de Itō modificada; as duas diferem por um termo de correção envolvendo a variação quadrática.