लेबेग समाकलन

लेबेग समाकलन एक मापने योग्य फलन के समाकलन को एक माप द्वारा भारित सरल फलनों के साथ अनुमानित करके परिभाषित करता है, जिससे एक ऐसा समाकलन प्राप्त होता है जो सीमाओं के साथ मज़बूती से अंतःक्रिया करता है।

Definition

लेबेग समाकलन एक गैर-ऋणात्मक मापने योग्य फलन के समाकलन को उसके नीचे के सरल फलनों के समाकलन के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित करता है, और इसे धनात्मक और ऋणात्मक भागों को समाकलित करके हस्ताक्षरित और सम्मिश्र फलनों तक विस्तारित करता है, जिससे किसी भी माप के संबंध में परिभाषित एक समाकलन प्राप्त होता है।

Scope

यह विषय सरल फलनों और गैर-ऋणात्मक मापने योग्य फलनों के समाकलन, सामान्य और सम्मिश्र-मान फलनों के समाकलन, एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय, फातू का लेम्मा, प्रमुख अभिसरण प्रमेय, लगभग-हर-जगह कथन, और रीमैन समाकलन के साथ तुलना को शामिल करता है।

Core questions

• समाकलन को सरल फलनों और एक माप से कैसे बनाया जाता है?
• किन परिस्थितियों में एक सीमा को समाकलन के अंदर ले जाया जा सकता है?
• किसी गुण के लगभग हर जगह होने का क्या अर्थ है, और यह सही धारणा क्यों है?
• लेबेग समाकलन रीमैन समाकलन से कैसे संबंधित है और उसे कैसे विस्तारित करता है?

Key theories

एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय और फातू का लेम्मा

गैर-ऋणात्मक मापने योग्य फलनों के लिए, एक बढ़ती हुई सीमा का समाकलन समाकलनों की सीमा है, और सामान्य तौर पर एक लिमिनफ (liminf) का समाकलन समाकलनों के लिमिनफ से अधिक नहीं होता है, जो समाकलनों के माध्यम से सीमाओं को पारित करने के लिए मूल उपकरण हैं।

प्रमुख अभिसरण प्रमेय

यदि फलन लगभग हर जगह अभिसरित होते हैं और एक निश्चित समाकलनीय फलन द्वारा आकार में बंधे होते हैं, तो उनके समाकलनों की सीमा सीमा के समाकलन के बराबर होती है, जो समाकलन का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला विनिमय प्रमेय है।

Clinical relevance

लेबेग समाकलन प्रायिकता सिद्धांत की अपेक्षा और फूरियर तथा कार्यात्मक विश्लेषण का अंतर्निहित समाकलन है; इसके अभिसरण प्रमेय भौतिकी, सांख्यिकी और अनुप्रयुक्त गणित में व्युत्पत्तियों में सीमाओं, योगों और समाकलनों के आदान-प्रदान को न्यायोचित ठहराते हैं, और वे Lp फलन स्थानों को पूर्ण बनाते हैं।

History

लेबेग ने अपने समाकलन को 1902 में परिभाषित किया, और अभिसरण प्रमेय इसके तुरंत बाद स्थापित किए गए, जिसमें फातू का लेम्मा 1906 में उनकी श्रृंखलाओं पर काम में दिखाई दिया और लेवी का एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय 1906 में। इन परिणामों ने विश्लेषण को इसका आधुनिक सीमा-अनुकूल समाकलन दिया।

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

लगभग हर जगह का क्या मतलब है?

एक कथन लगभग हर जगह मान्य होता है यदि वह सेट जहाँ यह विफल होता है, उसका माप शून्य हो; लेबेग समाकलन ऐसे सेटों पर परिवर्तनों का पता नहीं लगा सकता है, इसलिए लगभग हर जगह समान फलनों का समाकलन समान होता है।

अभिसरण प्रमेय मुख्य लाभ क्यों हैं?

एकदिष्ट और प्रमुख अभिसरण प्रमेय सीमाओं को हल्के परिकल्पनाओं के तहत समाकलनों के अंदर ले जाने की अनुमति देते हैं, जो ठीक वही लचीलापन है जिसकी रीमैन समाकलन में कमी है और जिस पर प्रायिकता और विश्लेषण निर्भर करते हैं।