रेडॉन-निकोडिम और उत्पाद माप
ये परिणाम मापों की तुलना और संयोजन करते हैं: रेडॉन-निकोडिम प्रमेय एक माप को दूसरे के घनत्व के रूप में दर्शाता है, जबकि उत्पाद माप और फुबिनी का प्रमेय कई चरों पर समाकलन को एक पुनरावृत्त प्रक्रिया बनाते हैं।
Definition
रेडॉन-निकोडिम प्रमेय कहता है कि एक सिग्मा-परिमित माप के संबंध में पूर्णतः सतत माप उसके विरुद्ध एक घनत्व के समाकल के बराबर होता है; एक उत्पाद माप कारक स्थानों पर मापों को उनके उत्पाद तक विस्तारित करता है ताकि बहु-चर समाकलन को एक समय में एक चर पर किया जा सके।
Scope
यह विषय हस्ताक्षरित और जटिल मापों को हैन और जॉर्डन अपघटन, पूर्ण निरंतरता और पारस्परिक विलक्षणता, लेबेस्ग अपघटन, रेडॉन-निकोडिम प्रमेय और इसके व्युत्पन्न, उत्पाद मापों के निर्माण, और पुनरावृत्त समाकलनों के क्रम को बदलने के लिए फुबिनी और टोनेली प्रमेयों के साथ शामिल करता है।
Core questions
- एक माप को दूसरे के सापेक्ष पूर्णतः सतत और विलक्षण भागों में कैसे विघटित किया जाता है?
- एक माप का दूसरे के संबंध में घनत्व कब होता है, और वह घनत्व क्या है?
- एक उत्पाद स्थान पर एक माप कारकों पर मापों से कैसे बनाया जाता है?
- एक पुनरावृत्त समाकल के क्रम का आदान-प्रदान कब किया जा सकता है?
Key theories
- रेडॉन-निकोडिम प्रमेय
- यदि एक माप एक सिग्मा-परिमित माप के संबंध में पूर्णतः सतत है, तो यह एक अद्वितीय घनत्व फलन, रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न का समाकल है, जो प्रायिकता घनत्वों और सशर्त अपेक्षा का कठोर आधार है।
- फुबिनी-टोनेली प्रमेय
- सिग्मा-परिमितता के तहत, एक उत्पाद स्थान पर एक समाकल या तो पुनरावृत्त समाकल के बराबर होता है, जिसमें गैर-ऋणात्मक फलनों के लिए टोनेली का रूप और समाकलनीय फलनों के लिए फुबिनी का रूप होता है, जो समाकलन के क्रम के आदान-प्रदान को उचित ठहराता है।
Clinical relevance
रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न सांख्यिकी का प्रायिकता घनत्व फलन और संभाव्यता अनुपात है और प्रायिकता में सशर्त अपेक्षा का कठोर आधार है, जबकि उत्पाद माप और फुबिनी का प्रमेय भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में संयुक्त वितरण, स्वतंत्रता और बहु-आयामी समाकलनों के उपचार को रेखांकित करते हैं।
History
रेडॉन ने 1913 में यूक्लिडियन स्थान के लिए घनत्व प्रमेय को सिद्ध किया और निकोडिम ने इसे 1930 में अमूर्त मापों तक विस्तारित किया। पुनरावृत्त समाकलन पर फुबिनी का प्रमेय 1907 का है और 1909 में टोनेली के गैर-ऋणात्मक संस्करण द्वारा पूरक किया गया था, जिससे उत्पाद समाकलन का सिद्धांत पूरा हुआ।
Key figures
- Johann Radon
- Otton Nikodym
- Guido Fubini
Related topics
Seminal works
- folland1999
- cohn2013
Frequently asked questions
- रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न क्या है?
- यह वह घनत्व फलन है जो एक माप को दूसरे के विरुद्ध एक समाकल के रूप में व्यक्त करता है जब पहला दूसरे के संबंध में पूर्णतः सतत होता है; प्रायिकता में यह ठीक प्रायिकता घनत्व फलन है।
- एक दोहरे समाकल के क्रम को कब बदला जा सकता है?
- टोनेली का प्रमेय सिग्मा-परिमित स्थानों पर गैर-ऋणात्मक मापने योग्य फलनों के लिए इसकी अनुमति देता है, और फुबिनी का प्रमेय इसकी अनुमति देता है जब भी फलन उत्पाद पर समाकलनीय होता है; साथ में वे व्यवहार में आने वाले मामलों को कवर करते हैं।