रीमैन और लेबेग समाकलन
समाकलन एक वक्र के अंतर्गत आने वाले क्षेत्र को एक सुदृढ़ मान प्रदान करता है; रीमैन समाकलन डोमेन को विभाजित करके ऐसा करता है, जबकि लेबेग समाकलन रेंज को विभाजित करता है और फलनों के कहीं अधिक व्यापक वर्ग को समाकलित करता है।
Definition
रीमैन समाकलन डोमेन के महीन विभाजनों पर ऊपरी और निचले योगों की सामान्य सीमा है। लेबेग समाकलन, माप द्वारा मापे गए सरल फलनों के साथ फलनों का अनुमान लगाकर परिभाषित किया गया है, समाकलन को एक व्यापक वर्ग तक विस्तारित करता है और सीमाओं के तहत अच्छी तरह से व्यवहार करता है।
Scope
यह विषय ऊपरी और निचले योगों के माध्यम से रीमैन समाकलन के निर्माण, रीमैन समाकलनीयता के मानदंड, कलन के मौलिक प्रमेय, सीमाओं के तहत रीमैन समाकलन की सीमाओं, और माप पर निर्मित लेबेग समाकलन के साथ-साथ इसके मोनोटोन, फाटौ और डोमिनेटेड कन्वर्जेंस प्रमेयों को शामिल करता है।
Core questions
- ठीक कौन से फलन रीमैन समाकलनीय हैं, और उनकी विशेषता क्या है?
- कलन का मौलिक प्रमेय समाकलन और अवकलन को कैसे जोड़ता है?
- रीमैन समाकलन कई सीमाओं के साथ विनिमय करने में विफल क्यों होता है?
- लेबेग समाकलन इन सीमाओं को कैसे दूर करता है?
Key theories
- रीमैन समाकलनीयता के लिए लेबेग मानदंड
- एक बंद अंतराल पर एक परिबद्ध फलन रीमैन समाकलनीय होता है यदि और केवल यदि उसके असंततताओं के समुच्चय का माप शून्य हो, जो रीमैन सिद्धांत की पहुंच को सटीक रूप से निर्धारित करता है।
- कलन का मौलिक प्रमेय
- अवकलन और समाकलन व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं: एक अवकलज का समाकलन फलन को पुनः प्राप्त करता है, और एक समाकलन का अवकलज समाकल्य को पुनः प्राप्त करता है, जो विश्लेषण की दो केंद्रीय संक्रियाओं को जोड़ता है।
- मोनोटोन और डोमिनेटेड कन्वर्जेंस
- लेबेग समाकलन के लिए, फलनों के मोनोटोन बढ़ते अनुक्रम और डोमिनेटेड अनुक्रम सीमा और समाकलन के आदान-प्रदान की अनुमति देते हैं, वह अभिसरण शक्ति जो रीमैन समाकलन में नहीं होती है।
Clinical relevance
समाकलन सिद्धांत विज्ञान भर में क्षेत्रों, संभावनाओं, अपेक्षाओं और संचित मात्राओं की गणना का आधार है। लेबेग समाकलन का सुदृढ़ सीमा व्यवहार संभाव्यता सिद्धांत, फूरियर विश्लेषण, फलन स्थानों की पूर्णता और अवकल समीकरणों के समाधान के कठोर उपचार के लिए आवश्यक है।
History
रीमैन ने 1854 में समाकलन की पहली कठोर परिभाषा दी। कई सीमाओं और असंतत फलनों को संभालने में इसकी अक्षमता ने लेबेग के 1902 के माप-आधारित समाकलन को प्रेरित किया, जो आधुनिक विश्लेषण और संभाव्यता का मानक उपकरण बन गया।
Key figures
- Bernhard Riemann
- Henri Lebesgue
- Emile Borel
Related topics
Seminal works
- rudin1976
- stein2005real
Frequently asked questions
- उन्नत विश्लेषण में लेबेग समाकलन को क्यों पसंद किया जाता है?
- यह अधिक फलनों को समाकलित करता है और, महत्वपूर्ण रूप से, हल्की परिस्थितियों में सीमाओं और समाकलनों को आपस में बदलने की अनुमति देता है, जो फलन स्थानों को पूर्ण बनाता है और संभाव्यता और फूरियर विश्लेषण में अपरिहार्य है।
- क्या दोनों समाकलन कभी असहमत होते हैं?
- उन फलनों के लिए जो एक परिबद्ध अंतराल पर रीमैन समाकलनीय हैं, दोनों समाकलन समान मान देते हैं; लेबेग समाकलन बस फलनों के एक बड़े वर्ग पर लागू होता है जहां रीमैन समाकलन अपरिभाषित होता है।