Lp स्पेस (Lp Spaces)

Lp स्पेस उन फलनों को एकत्रित करते हैं जिनकी p-वीं घात समाकलनीय होती है, जो पूर्ण मानक स्पेस बनाते हैं जो माप सिद्धांत और कार्यात्मक विश्लेषण के बीच सेतु का काम करते हैं।

Definition

एक माप स्पेस और कम से कम एक के घातांक p के लिए, Lp स्पेस में मापने योग्य फलनों के तुल्यता वर्ग होते हैं, जिनके निरपेक्ष मान की घात p का परिमित समाकल होता है, और इसे उस समाकल के p-वें मूल द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है।

Scope

यह विषय Lp नॉर्म और लगभग हर जगह समान फलनों की पहचान, होल्डर (Holder) और मिन्कोव्स्की (Minkowski) की असमानताएँ, रीज़-फिशर (Riesz-Fischer) प्रमेय द्वारा व्यक्त Lp की पूर्णता, वर्ग-समाकलनीय फलनों का विशेष हिल्बर्ट-स्पेस (Hilbert-space) मामला, संयुग्मी घातांकों के बीच द्वैतता, और सरल तथा सतत फलनों का घनत्व शामिल करता है।

Core questions

• Lp के तत्व फलनों के बजाय तुल्यता वर्ग क्यों होने चाहिए?
• कौन सी असमानताएँ Lp नॉर्म को एक वास्तविक नॉर्म बनाती हैं और फलनों के गुणनफल को नियंत्रित करती हैं?
• प्रत्येक Lp स्पेस पूर्ण क्यों है, और यह क्यों मायने रखता है?
• Lp स्पेस के द्वैत को संयुग्मी घातांकों के माध्यम से कैसे पहचाना जाता है?

Key theories

होल्डर और मिन्कोव्स्की असमानताएँ

होल्डर की असमानता संयुग्मी घातांकों पर Lp नॉर्म के गुणनफल द्वारा एक गुणनफल के समाकल को सीमित करती है, और मिन्कोव्स्की की असमानता Lp नॉर्म के लिए त्रिभुज असमानता स्थापित करती है, ये दो अनुमान Lp को एक मानक स्पेस बनाते हैं।

रीज़-फिशर पूर्णता प्रमेय

प्रत्येक Lp स्पेस पूर्ण होता है, इसलिए यह एक बानाख स्पेस है और, घातांक दो के लिए, एक हिल्बर्ट स्पेस है; पूर्णता ही माप सिद्धांत को कार्यात्मक विश्लेषण से जोड़ती है और फूरियर (Fourier) विस्तार का आधार है।

Clinical relevance

Lp स्पेस परिमित ऊर्जा और परिमित शक्ति के संकेतों के लिए, सोबोलेव (Sobolev) स्पेस के माध्यम से आंशिक अवकल समीकरणों के भिन्नता सूत्रीकरण के लिए, और प्रायिकता और सांख्यिकी के लिए प्राकृतिक सेटिंग हैं, जहाँ वर्ग-समाकलनीय यादृच्छिक चरों का स्पेस प्रसरण, सहसंबंध और न्यूनतम-वर्ग अनुमान के पीछे की ज्यामिति को वहन करता है।

History

रीज़ (Riesz) और फिशर (Fischer) ने 1907 में स्वतंत्र रूप से वर्ग-समाकलनीय फलनों की पूर्णता को सिद्ध किया, एक परिणाम जिसे जल्द ही सामान्य घातांकों तक विस्तारित किया गया। Lp स्पेस रीज़ और बानाख (Banach) के कार्यात्मक विश्लेषण के विकास में प्रोटोटाइप बानाख स्पेस बन गए।

Key figures

• Frigyes Riesz
• Ernst Fischer
• Otto Holder

Seminal works

• folland1999
• brezis2011

Frequently asked questions

Lp तत्व फलनों के बजाय तुल्यता वर्ग क्यों होते हैं?

Lp नॉर्म उन फलनों को अलग नहीं कर सकता जो केवल शून्य माप के एक सेट पर भिन्न होते हैं, इसलिए एक वास्तविक नॉर्म प्राप्त करने के लिए उन फलनों की पहचान की जाती है जो लगभग हर जगह सहमत होते हैं और परिणामी तुल्यता वर्गों के साथ काम किया जाता है।

p बराबर दो के मामले में क्या खास है?

वर्ग-समाकलनीय फलनों का स्पेस एक हिल्बर्ट स्पेस है, जो आंतरिक गुणनफल वाला एकमात्र Lp स्पेस है, जो इसे लंबकोणीयता और प्रक्षेपण देता है और इसे फूरियर विश्लेषण और क्वांटम अवस्थाओं का घर बनाता है।