पॉइसन प्रक्रियाएँ
पॉइसन प्रक्रिया समय या स्थान में पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से बिखरे हुए बिंदुओं का मॉडल है, जिसमें असंबद्ध क्षेत्रों में गणनाएँ स्वतंत्र और पॉइसन वितरित होती हैं, जिससे यह यादृच्छिक आगमन का विहित विवरण बन जाता है।
Definition
एक पॉइसन प्रक्रिया एक गणना प्रक्रिया है जिसके असंबद्ध क्षेत्रों में घटनाओं की संख्या स्वतंत्र और पॉइसन वितरित होती है, जिसका माध्य क्षेत्र के आकार के समानुपाती होता है, जो समतुल्य रूप से स्वतंत्र और स्थिर वृद्धियों वाले बिंदुओं की एक प्रक्रिया है।
Scope
यह विषय स्वतंत्र घातीय अंतरालन समय द्वारा परिभाषित रेखा पर सजातीय पॉइसन प्रक्रिया, स्वतंत्र पॉइसन-वितरित वृद्धियों के माध्यम से इसका समतुल्य लक्षण वर्णन, विषम और स्थानिक पॉइसन बिंदु प्रक्रियाएँ, अध्यारोपण और विरलन संक्रियाएँ, वातानुकूलित आगमन समय का क्रम-सांख्यिकी गुण, और सबसे सरल सतत-समय मार्कोव गणना प्रक्रिया के रूप में पॉइसन प्रक्रिया को शामिल करता है।
Core questions
- पूरी तरह से यादृच्छिक बिंदुओं को कौन सी स्वतंत्रता और वितरण संबंधी विशेषताएँ परिभाषित करती हैं?
- पॉइसन घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय घातीय रूप से वितरित और स्मृतिहीन क्यों होते हैं?
- अध्यारोपण और विरलन पॉइसन प्रक्रियाओं को कैसे जोड़ते और विभाजित करते हैं?
- आगमन की संख्या ज्ञात होने पर आगमन समय कैसे वितरित होते हैं?
Key concepts
- स्वतंत्र वृद्धियाँ
- घातीय अंतरालन समय
- अध्यारोपण और विरलन
- विषम तीव्रता
- स्थानिक बिंदु प्रक्रिया
Key theories
- पॉइसन प्रक्रिया के परिभाषित गुण
- असंबद्ध सेटों पर स्वतंत्र पॉइसन-वितरित गणनाएँ, घातीय स्मृतिहीन अंतरालन समय, और कई दुर्लभ स्वतंत्र घटनाओं की सीमा सभी एक ही प्रक्रिया का वर्णन करती हैं, तीन समतुल्य विशेषताएँ जो इसकी सार्वभौमिकता की व्याख्या करती हैं।
- अध्यारोपण, विरलन, और क्रम-सांख्यिकी गुण
- स्वतंत्र पॉइसन प्रक्रियाओं को मर्ज करने से उनकी दरें जुड़ जाती हैं, प्रत्येक बिंदु को एक निश्चित संभावना के साथ स्वतंत्र रूप से रखने से एक विरलित पॉइसन प्रक्रिया प्राप्त होती है, और गणना पर वातानुकूलित आगमन समय को क्रमबद्ध समान नमूनों के रूप में वितरित किया जाता है, जो पॉइसन बिंदुओं में हेरफेर के लिए एक टूलकिट है।
Clinical relevance
पॉइसन प्रक्रिया कतारबद्धता और दूरसंचार में आगमन धाराओं के लिए, रेडियोधर्मी क्षय और फोटॉन संसूचन के समय के लिए, बीमा दावों के आगमन के लिए, और तारों, पेड़ों या कोशिकीय घटनाओं के स्थानों के लिए स्थानिक बिंदु-प्रक्रिया मॉडल के रूप में मानक मॉडल है, जहाँ इसके विरलन और अध्यारोपण नियम विश्लेषण को सुगम बनाते हैं।
History
पॉइसन ने 1837 में दुर्लभ घटनाओं के सीमित नियम को व्युत्पन्न किया। अर्लांग ने बीसवीं सदी की शुरुआत में टेलीफोन यातायात पर पॉइसन आगमन को लागू किया, जिससे कतारबद्धता सिद्धांत की स्थापना हुई, और किंगमैन ने सामान्य स्थानों पर पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं का आधुनिक माप-सैद्धांतिक उपचार दिया।
Key figures
- Simeon Denis Poisson
- Agner Krarup Erlang
- John Kingman
Related topics
Seminal works
- kingman1993
Frequently asked questions
- पॉइसन घटनाओं के बीच का समय घातीय क्यों होता है?
- क्योंकि प्रक्रिया में कोई स्मृति नहीं होती है: अगले क्षण में किसी घटना की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कोई कितनी देर से प्रतीक्षा कर रहा है, और घातीय वितरण इस स्मृतिहीन गुण के साथ अद्वितीय सतत वितरण है।
- पॉइसन प्रक्रिया को विरलित करने से क्या होता है?
- यदि पॉइसन प्रक्रिया के प्रत्येक बिंदु को कुछ निश्चित संभावना के साथ स्वतंत्र रूप से रखा जाता है, तो बनाए गए बिंदु फिर से उस संभावना से मापी गई दर के साथ एक पॉइसन प्रक्रिया बनाते हैं, और रखे गए और छोड़े गए बिंदु स्वतंत्र होते हैं।