प्वासों और बिंदु प्रक्रियाएँ

एक बिंदु प्रक्रिया समय या स्थान में बिंदुओं का एक यादृच्छिक बिखराव है; प्वासों प्रक्रिया, जिसमें असंयुक्त क्षेत्रों में स्वतंत्र प्वासों-वितरित गणनाएँ होती हैं, इसका मूलभूत उदाहरण है।

Definition

एक बिंदु प्रक्रिया एक यादृच्छिक माप है जो एक स्थान में बिंदुओं का एक असतत सेट रखती है, और प्वासों प्रक्रिया वह बिंदु प्रक्रिया है जिसमें किसी भी क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या एक तीव्रता माप द्वारा दिए गए माध्य के साथ प्वासों वितरित होती है और असंयुक्त क्षेत्रों में गणनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

Scope

यह क्षेत्र समरूप प्वासों प्रक्रिया और स्वतंत्र घातीय अंतरालन समय तथा स्वतंत्र वृद्धियों के माध्यम से इसके लक्षण वर्णन, विषम और यौगिक प्वासों प्रक्रियाओं, यादृच्छिक गणना मापों के रूप में बिंदु प्रक्रियाओं के सामान्य सिद्धांत, तीव्रता और चिह्नों, अध्यारोपण, विरलन और मानचित्रण जैसे संचालन, और स्थानिक बिंदु पैटर्न को शामिल करता है।

Sub-topics

• समरूप पॉइसन प्रक्रिया
• विषम और संयुक्त पॉइसन प्रक्रियाएँ
• स्थानिक बिंदु प्रक्रियाएँ

Core questions

• प्वासों प्रक्रिया को क्या परिभाषित करता है और कौन से समतुल्य लक्षण वर्णन इसे वर्णित करते हैं?
• स्वतंत्र वृद्धियाँ और घातीय अंतरालन समय कैसे उत्पन्न होते हैं?
• बिंदु प्रक्रियाओं को यादृच्छिक गणना मापों के रूप में कैसे औपचारिक रूप दिया जाता है?
• विरलन, अध्यारोपण और मानचित्रण प्वासों प्रक्रियाओं को कैसे रूपांतरित करते हैं?

Key theories

प्वासों प्रक्रिया के लक्षण वर्णन

समरूप प्वासों प्रक्रिया को समतुल्य रूप से स्वतंत्र वृद्धियों के साथ प्वासों गणनाओं द्वारा, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित घातीय अंतरालन समय द्वारा, और स्थिर स्वतंत्र वृद्धियों और कोई निश्चित परमाणु के बिना अद्वितीय सरल बिंदु प्रक्रिया के रूप में वर्णित किया जाता है।

मानचित्रण, विरलन और अध्यारोपण प्रमेय

प्वासों प्रक्रियाओं के बिंदुओं को स्वतंत्र रूप से विस्थापित करना, यादृच्छिक रूप से हटाना, या विलय करना फिर से रूपांतरित तीव्रता मापों के साथ प्वासों प्रक्रियाओं को उत्पन्न करता है, एक सुदृढ़ता जो प्वासों प्रक्रिया को पूरी तरह से यादृच्छिक बिंदुओं के लिए विहित मॉडल बनाती है।

Clinical relevance

बिंदु प्रक्रियाएँ ग्राहकों के आगमन, टेलीफोन कॉल, रेडियोधर्मी क्षय, बीमा दावों, न्यूरोनल स्पाइक्स, और पेड़ों, आकाशगंगाओं या रोग के मामलों के स्थानिक स्थानों को मॉडल करती हैं; प्वासों प्रक्रिया पूर्ण स्थानिक यादृच्छिकता की आधार रेखा के रूप में कार्य करती है जिसके विरुद्ध क्लस्टरिंग या नियमितता का मूल्यांकन किया जाता है।

History

प्वासों वितरण प्वासों के 1837 के निर्णयों पर काम में उत्पन्न हुआ, इस प्रक्रिया का उपयोग एरलांग द्वारा 1909 से टेलीफोन यातायात को मॉडल करने के लिए और बैटमैन तथा रदरफोर्ड द्वारा रेडियोधर्मी क्षय के लिए किया गया था, और बिंदु प्रक्रियाओं का आधुनिक माप-सैद्धांतिक सिद्धांत बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में किंगमैन, डेली और वेरे-जोन्स द्वारा समेकित किया गया था।

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

प्वासों प्रक्रिया क्या है?

यह समय या स्थान में पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से बिखरे हुए बिंदुओं के लिए एक मॉडल है, जिसमें किसी भी क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या प्वासों वितरण का अनुसरण करती है और गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों में गणनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

प्वासों प्रक्रिया का इतना व्यापक रूप से उपयोग क्यों किया जाता है?

यह पूर्ण यादृच्छिकता का प्राकृतिक मॉडल है, विरलन, अध्यारोपण और मानचित्रण के तहत संरक्षित रहता है, और एक सीमा के रूप में उत्पन्न होता है जब कई दुर्लभ स्वतंत्र घटनाएँ जमा होती हैं, जिससे यह एक लचीली और सुगम आधार रेखा बन जाती है।