समरूप पॉइसन प्रक्रिया

समरूप पॉइसन प्रक्रिया एक स्थिर औसत दर पर होने वाली घटनाओं की गणना करती है, जिसमें किसी भी अंतराल में घटनाओं की संख्या पॉइसन वितरित होती है और असंयुक्त अंतरालों में गणनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

Definition

दर लैम्डा की एक समरूप पॉइसन प्रक्रिया शून्य से शुरू होने वाली एक गणना प्रक्रिया है जिसमें स्वतंत्र स्थिर वृद्धि होती है, जिसमें t लंबाई के अंतराल में घटनाओं की संख्या लैम्डा गुना t के माध्य के साथ पॉइसन वितरित होती है, या समकक्ष रूप से एक ऐसी प्रक्रिया जिसके अंतरालीय समय दर लैम्डा के साथ स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर होते हैं।

Scope

यह विषय दर पैरामीटर, गणनाओं का पॉइसन वितरण, स्वतंत्र और स्थिर वृद्धि, अंतरालीय समय का घातीय वितरण और आगमन समय का गामा वितरण, गणना पर आधारित घटना समय का क्रम सांख्यिकी गुण, और इन परिणामों के अंतर्निहित स्मृतिहीन गुण को शामिल करता है।

Core questions

• समरूप पॉइसन प्रक्रिया को इसकी दर द्वारा कैसे परिभाषित और पैरामीटराइज़ किया जाता है?
• अंतरालीय समय घातीय और स्वतंत्र क्यों होते हैं?
• घटनाओं की संख्या दिए जाने पर आगमन समय कैसे वितरित होते हैं?
• स्मृतिहीन गुण की क्या भूमिका है?

Key theories

गणना और अंतरालीय विवरणों की तुल्यता

एक गणना प्रक्रिया में स्थिर स्वतंत्र वृद्धि के साथ पॉइसन वृद्धि होती है यदि और केवल यदि उसके लगातार अंतरालीय समय समान दर के साथ स्वतंत्र घातीय होते हैं, तो प्रक्रिया को या तो गिनकर या प्रतीक्षा समय को जोड़कर बनाया जा सकता है।

क्रम सांख्यिकी गुण

एक अंतराल में घटनाओं की संख्या पर आधारित, घटना समय उस अंतराल में स्वतंत्र समान बिंदुओं के क्रम सांख्यिकी के रूप में वितरित होते हैं, जो कई सशर्त गणनाओं और सिमुलेशन को सीधा बनाता है।

Clinical relevance

समरूप पॉइसन प्रक्रिया कतारबद्धता में आगमन, रेडियोधर्मी क्षय गणना, फोटॉन पहचान और दुर्लभ-घटनाओं के लिए मानक मॉडल है, और यह प्राथमिक M/M/1 और M/G/1 कतारों में आगमन तंत्र के रूप में कार्य करती है और घटना-समय डेटा में यादृच्छिकता के शून्य मॉडल के रूप में कार्य करती है।

History

दुर्लभ घटनाओं के बॉर्टकिविज़ के 1898 के विश्लेषण और एरलांग के 1909 के टेलीफोन यातायात के अध्ययन ने पॉइसन प्रक्रिया को अनुभवजन्य रूप से स्थापित किया, जबकि रदरफोर्ड और गीगर की 1910 की अल्फा कणों की गणना ने एक उत्कृष्ट भौतिक पुष्टि दी; कठोर सिद्धांत स्वतंत्र वृद्धि वाली प्रक्रियाओं के सामान्य अध्ययन से प्राप्त हुआ।

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

पॉइसन अंतरालीय समय घातीय क्यों होते हैं?

वृद्धि की स्वतंत्रता और स्थिरता अगले घटना के लिए प्रतीक्षा समय को स्मृतिहीन होने के लिए मजबूर करती है, और एकमात्र निरंतर स्मृतिहीन वितरण घातीय है, जिसकी दर प्रक्रिया दर के बराबर होती है।

दर पैरामीटर का क्या अर्थ है?

दर लैम्डा प्रति इकाई समय में घटनाओं की औसत संख्या है; एक अंतराल में अपेक्षित गणना उसकी लंबाई का लैम्डा गुना है, और औसत अंतरालीय समय लैम्डा का व्युत्क्रम है।