नवीनीकरण सिद्धांत पॉइसन प्रक्रिया का सामान्यीकरण कैसे करता है?

यह पॉइसन प्रक्रिया के घातीय अंतरालन समय को मनमाने स्वतंत्र समान रूप से वितरित समय से बदल देता है, जिससे प्रक्रिया नवीनीकरण संरचना को बनाए रखती है लेकिन स्मृतिहीन गुण खो देती है।

लिटिल का नियम क्या है?

यह बताता है कि एक स्थिर प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या आगमन दर और ग्राहक द्वारा वहाँ बिताए गए औसत समय के बराबर होती है, जो आगमन या सेवा वितरण से स्वतंत्र होती है।

नवीनीकरण और कतार सिद्धांत

नवीनीकरण सिद्धांत उन प्रक्रियाओं का विश्लेषण करता है जो संभाव्य रूप से पुनरावृत्ति युगों में पुनः आरंभ होती हैं, और कतार सिद्धांत इसे उन प्रणालियों पर लागू करता है जहाँ ग्राहक आते हैं, प्रतीक्षा करते हैं और सेवा प्राप्त करते हैं।

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Definition

नवीनीकरण सिद्धांत उन गणना प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है जिनके अंतरालन समय स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होते हैं, जो पॉइसन प्रक्रिया का सामान्यीकरण करते हैं, जबकि कतार सिद्धांत प्रतीक्षा समय, कतार की लंबाई और उपयोगिता का अध्ययन करने के लिए आगमन और सेवा प्रक्रियाओं के संयोजन से सेवा प्रणालियों का मॉडल तैयार करता है।

Scope

यह क्षेत्र नवीनीकरण प्रक्रियाओं और नवीनीकरण फलन, प्राथमिक और मुख्य नवीनीकरण प्रमेय, पुनर्योजी प्रक्रियाओं और नवीनीकरण-पुरस्कार ढाँचे, M/M/1 और M/M/c जैसी मार्कोवियन कतारों की संरचना और संतुलन, औसत संख्या और प्रतीक्षा समय से संबंधित लिटिल का नियम, और उत्पाद-रूप समाधानों के साथ परस्पर क्रिया करने वाली कतारों के नेटवर्क को शामिल करता है।

Sub-topics

Core questions

घातीय अंतरालन समय को मनमाने वितरणों तक सामान्यीकृत करने से पॉइसन प्रक्रिया का विस्तार कैसे होता है?
नवीनीकरण प्रमेय लंबी अवधि की दरों और स्पर्शोन्मुखी व्यवहार के बारे में क्या कहते हैं?
संतुलन में औसत कतार की लंबाई और प्रतीक्षा समय कैसे संबंधित हैं?
कतारों के नेटवर्क कब ट्रैक्टेबल उत्पाद-रूप समाधानों को स्वीकार करते हैं?

Key theories

नवीनीकरण प्रमेय और नवीनीकरण-पुरस्कार: प्राथमिक और मुख्य नवीनीकरण प्रमेय नवीनीकरण की लंबी अवधि की दर और नवीनीकरण समीकरण के समाधानों के सीमित व्यवहार को देते हैं, और नवीनीकरण-पुरस्कार प्रमेय लंबी अवधि के औसत पुरस्कार को प्रति चक्र अपेक्षित पुरस्कार को अपेक्षित चक्र लंबाई से विभाजित करके व्यक्त करता है।
लिटिल का नियम: किसी भी स्थिर कतार प्रणाली में उपस्थित ग्राहकों की लंबी अवधि की औसत संख्या आगमन दर और प्रत्येक ग्राहक द्वारा प्रणाली में बिताए गए औसत समय के बराबर होती है, जो थ्रूपुट, अधिभोग और देरी से संबंधित एक वितरण-मुक्त पहचान है।

Clinical relevance

नवीनीकरण और कतार सिद्धांत टेलीफोन और डेटा नेटवर्क, कॉल सेंटर, विनिर्माण लाइनों, कंप्यूटर प्रणालियों, परिवहन और स्वास्थ्य सेवा क्षमता के डिजाइन और विश्लेषण को आधार प्रदान करते हैं, जो यादृच्छिक मांग वाली प्रणालियों में देरी, थ्रूपुट और संसाधन उपयोगिता को निर्धारित करते हैं।

History

एर्लांग ने 1909 और 1920 के बीच अपने टेलीफोन-ट्रैफिक फ़ार्मुलों के साथ कतार सिद्धांत की स्थापना की, नवीनीकरण सिद्धांत को 1940 और 1950 के दशक में फेलर, स्मिथ और कॉक्स द्वारा विकसित किया गया था, और लिटिल के 1961 के कतार-लंबाई पहचान के प्रमाण और जैक्सन के 1957 के नेटवर्क परिणामों ने सिद्धांत को जटिल सेवा प्रणालियों तक विस्तारित किया।

Key figures

Agner Krarup Erlang
William Feller
David Cox
John Little

Seminal works

asmussen2003

Frequently asked questions

नवीनीकरण सिद्धांत पॉइसन प्रक्रिया का सामान्यीकरण कैसे करता है?: यह पॉइसन प्रक्रिया के घातीय अंतरालन समय को मनमाने स्वतंत्र समान रूप से वितरित समय से बदल देता है, जिससे प्रक्रिया नवीनीकरण संरचना को बनाए रखती है लेकिन स्मृतिहीन गुण खो देती है।
लिटिल का नियम क्या है?: यह बताता है कि एक स्थिर प्रणाली में ग्राहकों की औसत संख्या आगमन दर और ग्राहक द्वारा वहाँ बिताए गए औसत समय के बराबर होती है, जो आगमन या सेवा वितरण से स्वतंत्र होती है।