मार्कोव प्रक्रियाएँ
मार्कोव प्रक्रिया एक यादृच्छिक विकास है जिसका भविष्य उसकी वर्तमान स्थिति को देखते हुए उसके अतीत से स्वतंत्र होता है, एक स्मृतिहीन संरचना जो स्टोकेस्टिक प्रणालियों की एक विशाल श्रृंखला को विश्लेषणात्मक रूप से सुगम बनाती है।
Definition
मार्कोव प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसमें मार्कोव गुण होता है, कि पूरे अतीत को देखते हुए भविष्य का सशर्त वितरण केवल वर्तमान स्थिति पर निर्भर करता है, ताकि प्रक्रिया अवस्थाओं के बीच संक्रमण संभावनाओं के माध्यम से विकसित हो।
Scope
यह क्षेत्र गणनीय अवस्था स्थानों पर असतत-समय मार्कोव श्रृंखलाओं को उनके संक्रमण मैट्रिसेस, अवस्थाओं के वर्गीकरण और पुनरावृत्ति के साथ कवर करता है, पॉइसन प्रक्रिया और यादृच्छिक आगमन के विहित मॉडल के रूप में इसकी भूमिका, निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखलाओं को उनके जनरेटर और फॉरवर्ड और बैकवर्ड कोलमोगोरोव समीकरणों के साथ, और स्थिर वितरण, एर्गोडिसिटी और संतुलन में अभिसरण का दीर्घकालिक सिद्धांत।
Sub-topics
Core questions
- मार्कोव गुण का क्या अर्थ है, और यह एक प्रक्रिया को सुगम क्यों बनाता है?
- एक श्रृंखला की अवस्थाओं को क्षणिक और आवर्ती में कैसे वर्गीकृत किया जाता है, और किसी अवस्था में वापसी को क्या नियंत्रित करता है?
- निरंतर-समय मार्कोव प्रक्रियाओं का वर्णन जनरेटर और कोलमोगोरोव समीकरणों द्वारा कैसे किया जाता है?
- एक मार्कोव प्रक्रिया कब एक स्थिर वितरण में स्थापित होती है, और कितनी तेजी से?
Key theories
- मार्कोव गुण और संक्रमण कर्नेल
- वर्तमान पर कंडीशनिंग भविष्य को अतीत से स्वतंत्र बनाता है, इसलिए गतिशीलता पूरी तरह से संक्रमण संभावनाओं द्वारा एन्कोड की जाती है, और बहु-चरणीय संक्रमण चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरणों द्वारा संयोजित होते हैं, जो विकास का एक स्पष्ट बीजगणितीय विवरण देते हैं।
- एक स्थिर वितरण में अभिसरण
- एक अपरिवर्तनीय, अनावर्ती, धनात्मक-आवर्ती मार्कोव श्रृंखला में एक अद्वितीय स्थिर वितरण होता है जिस पर किसी भी शुरुआत से अवस्था का वितरण अभिसरित होता है, एर्गोडिक प्रमेय जो मार्कोव चेन मोंटे कार्लो और कतार विश्लेषण को रेखांकित करता है।
Clinical relevance
मार्कोव प्रक्रियाएँ अनुप्रयुक्त प्रणालियों की एक विशाल श्रृंखला का मॉडल करती हैं: कतारें और कॉल सेंटर, जनसंख्या और महामारी गतिशीलता, जीन अनुक्रम और आयन चैनल, पेजरेन्क जैसे रैंकिंग एल्गोरिदम, और मार्कोव चेन मोंटे कार्लो विधियाँ जो आधुनिक बायेसियन गणना और सांख्यिकीय भौतिकी सिमुलेशन को शक्ति प्रदान करती हैं।
History
आंद्रे मार्कोव ने 1906 में निर्भर अनुक्रमों के लिए बड़ी संख्याओं के नियम का विस्तार करने के लिए निर्भर संक्रमणों वाली श्रृंखलाओं की शुरुआत की। कोलमोगोरोव और फेलर ने संक्रमण संभावनाओं के लिए अपने अंतर समीकरणों के साथ निरंतर-समय सिद्धांत विकसित किया, और डूब ने स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के माप-सैद्धांतिक ढांचे के भीतर विषय को स्थापित किया।
Key figures
- Andrey Markov
- Andrey Kolmogorov
- Joseph L. Doob
- William Feller
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- सरल शब्दों में मार्कोव गुण क्या है?
- यह स्मृतिहीनता है: प्रक्रिया के भविष्य की भविष्यवाणी करने के लिए आपको केवल उसकी वर्तमान स्थिति जानने की आवश्यकता है, न कि उस पथ की जिससे वह वहां पहुंची; वर्तमान अतीत को भविष्य से अलग करता है।
- मार्कोव प्रक्रियाओं का इतना व्यापक रूप से उपयोग क्यों किया जाता है?
- उनकी स्मृतिहीन संरचना उन्हें विश्लेषणात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से सुगम रखती है जबकि अभी भी वास्तविक यादृच्छिकता और समय के साथ निर्भरता को कैप्चर करती है, इसलिए वे विज्ञान, इंजीनियरिंग और कंप्यूटेशन में डिफ़ॉल्ट गतिशील मॉडल के रूप में कार्य करती हैं।