असतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ
एक असतत-समय मार्कोव शृंखला पूर्णांक समय पर गणनीय अवस्थाओं के एक समुच्चय के बीच चलती है, अपनी अगली अवस्था को उन संभावनाओं से चुनती है जो केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती हैं, जिसे एक संक्रमण मैट्रिक्स में संक्षिप्त रूप से एन्कोड किया जाता है।
Definition
एक असतत-समय मार्कोव शृंखला गणनीय समुच्चय में यादृच्छिक अवस्थाओं का एक अनुक्रम है जैसे कि अगली अवस्था की संभावना केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती है, इन एक-चरणीय संभावनाओं को एक संक्रमण मैट्रिक्स में एकत्र किया जाता है।
Scope
इस विषय में संक्रमण मैट्रिक्स और चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरण, प्रबल मार्कोव गुण, अवस्थाओं का संचार वर्गों में और क्षणिक, शून्य-पुनरावर्ती, और धनात्मक-पुनरावर्ती में वर्गीकरण, आवधिकता, प्रथम-चरण विश्लेषण द्वारा गणना की गई हिटिंग संभावनाएँ और अपेक्षित हिटिंग समय, और पूर्णांक जालक पर यादृच्छिक चालों के लिए पुनरावृत्ति द्वंद्व शामिल हैं।
Core questions
- एक संक्रमण मैट्रिक्स कई चरणों में एक शृंखला की गतिशीलता को कैसे एन्कोड करता है?
- अवस्थाओं को उनकी संचार संरचना और उनकी पुनरावृत्ति के आधार पर कैसे वर्गीकृत किया जाता है?
- हिटिंग संभावनाओं और अपेक्षित हिटिंग समय की गणना कैसे की जाती है?
- कौन सी यादृच्छिक चालें निश्चित रूप से अपने शुरुआती बिंदु पर लौटती हैं और कौन सी अनंत तक भाग जाती हैं?
Key concepts
- संक्रमण मैट्रिक्स
- चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरण
- संचार वर्ग
- पुनरावृत्ति और क्षणिकता
- हिटिंग समय
Key theories
- प्रबल मार्कोव गुण
- मार्कोव गुण उपयुक्त यादृच्छिक समय पर लागू होता रहता है जिसे स्टॉपिंग टाइम कहा जाता है, इसलिए एक शृंखला ऐसे समय में अपनी अवस्था से नए सिरे से शुरू होती है, जो वापसी, भ्रमण और हिटिंग समय का विश्लेषण करने के लिए मुख्य उपकरण है।
- पुनरावृत्ति द्वंद्व
- प्रत्येक अवस्था या तो पुनरावर्ती होती है, जिसकी प्रायिकता एक के साथ अनंत बार यात्रा की जाती है, या क्षणिक होती है, जिसकी केवल सीमित बार यात्रा की जाती है; सरल सममित यादृच्छिक चाल के लिए यह आयाम पर निर्भर करता है, एक और दो आयामों में पुनरावृत्ति और तीन और उच्चतर में क्षणिकता के साथ।
Clinical relevance
असतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ बोर्ड गेम, इन्वेंट्री और कतारबद्ध प्रणालियों, पेज रैंक शृंखला के माध्यम से वेब नेविगेशन, और आनुवंशिक और पारिस्थितिक अनुक्रमण का मॉडल बनाती हैं; उनके हिटिंग-टाइम और पुनरावृत्ति सिद्धांत इस बारे में व्यावहारिक प्रश्नों का उत्तर देते हैं कि एक प्रणाली को लक्ष्य अवस्था तक पहुँचने या संदर्भ स्थिति में लौटने में कितना समय लगेगा।
History
मार्कोव ने इन शृंखलाओं को 1906 में प्रस्तुत किया, उन्हें पुश्किन की एक कविता में स्वरों और व्यंजनों के अनुक्रम पर लागू किया ताकि यह दिखाया जा सके कि निर्भर चर के लिए बड़ी संख्याओं का नियम लागू होता है। पोल्या के 1921 के यादृच्छिक चालों के विश्लेषण ने आयाम-निर्भर पुनरावृत्ति द्वंद्व स्थापित किया जो उनके प्रभाव को दर्शाता है।
Key figures
- Andrey Markov
- George Polya
- Joseph L. Doob
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- एक पुनरावर्ती और एक क्षणिक अवस्था में क्या अंतर है?
- एक पुनरावर्ती अवस्था वह है जिसमें शृंखला निश्चित रूप से वापस आती है, और इस प्रकार अनंत बार यात्रा करती है, जबकि एक क्षणिक अवस्था की केवल सीमित बार यात्रा की जाती है इससे पहले कि शृंखला हमेशा के लिए भटक जाए।
- कम आयामों में सरल यादृच्छिक चाल पुनरावर्ती क्यों होती है लेकिन उच्च आयामों में नहीं?
- एक और दो आयामों में चाल प्रायिकता एक के साथ मूल पर लौटती है, लेकिन तीन आयामों से आगे भागने के लिए पर्याप्त जगह होती है, इसलिए चाल केवल सीमित बार लौटती है और क्षणिक होती है; यह पोल्या का शास्त्रीय परिणाम है।