सतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ
एक सतत-समय मार्कोव शृंखला प्रत्येक अवस्था में एक घातीय समय के लिए रहती है और फिर दूसरी अवस्था में कूद जाती है, इसकी गतिशीलता एकल-चरण संक्रमण मैट्रिक्स के बजाय संक्रमण दरों के एक जनरेटर मैट्रिक्स द्वारा नियंत्रित होती है।
Definition
एक सतत-समय मार्कोव शृंखला एक गणनीय अवस्था स्थान पर एक मार्कोव प्रक्रिया है जो प्रत्येक अवस्था में घातीय रूप से वितरित समय के लिए रहती है और फिर निश्चित संभावनाओं के अनुसार कूद जाती है, जिसमें धारण दरें और कूदने की संभावनाएँ एक जनरेटर मैट्रिक्स में संक्षेपित होती हैं।
Scope
इस विषय में घातीय धारण समय और एक अंतर्निहित जंप शृंखला के साथ जंप-एंड-होल्ड निर्माण, संक्रमण दरों का जनरेटर या Q-मैट्रिक्स, संक्रमण संभावनाओं के लिए कोलमोगोरोव फॉरवर्ड और बैकवर्ड डिफरेंशियल समीकरण, मैट्रिक्स-घातीय समाधान, विस्फोट और नियमितता, जन्म-और-मृत्यु प्रक्रियाएँ, और स्थिर वितरणों द्वारा नियंत्रित दीर्घकालिक व्यवहार शामिल हैं।
Core questions
- घातीय धारण समय और कूदने की संभावनाओं से एक सतत-समय शृंखला का निर्माण कैसे किया जाता है?
- जनरेटर मैट्रिक्स क्या है, और यह संक्रमण संभावनाओं को कैसे निर्धारित करता है?
- कोलमोगोरोव फॉरवर्ड और बैकवर्ड समीकरण समय में विकास का वर्णन कैसे करते हैं?
- शृंखला सीमित समय में असीमित कूद कब कर सकती है, और इसे कैसे बाहर रखा जाता है?
Key concepts
- जनरेटर मैट्रिक्स
- घातीय धारण समय
- अंतर्निहित जंप शृंखला
- कोलमोगोरोव फॉरवर्ड और बैकवर्ड समीकरण
- जन्म-और-मृत्यु प्रक्रिया
Key theories
- जनरेटर और कोलमोगोरोव समीकरण
- ऑफ-डायगोनल जनरेटर प्रविष्टियाँ कूदने की दरें देती हैं और विकर्ण कुल निकास दरें; संक्रमण-संभावना मैट्रिक्स जनरेटर द्वारा संचालित फॉरवर्ड और बैकवर्ड डिफरेंशियल समीकरणों को हल करता है, जिसमें जनरेटर का मैट्रिक्स घातांक इसके औपचारिक समाधान के रूप में होता है।
- जंप-शृंखला और धारण-समय निर्माण
- एक सतत-समय शृंखला को एक अंतर्निहित असतत-समय जंप शृंखला के साथ-साथ अवस्था-निर्भर घातीय धारण समय द्वारा महसूस किया जा सकता है, जो प्रक्रिया कहाँ जाती है और वह कितनी देर तक प्रतीक्षा करती है, इसे अलग करता है और सिमुलेशन और विश्लेषण को सीधा बनाता है।
Clinical relevance
सतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ कतार और दूरसंचार नेटवर्क, आयन चैनलों और रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क की गतिशीलता, सतत समय में जनसंख्या और महामारी मॉडल, और क्रेडिट जोखिम के रेटिंग-माइग्रेशन मॉडल का मॉडल करती हैं; उनका जनरेटर सूत्रीकरण क्षणिक और संतुलन व्यवहार की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले अंतर समीकरणों से सीधे जुड़ता है।
History
कोलमोगोरोव ने 1931 में सतत-समय संक्रमण संभावनाओं के लिए फॉरवर्ड और बैकवर्ड डिफरेंशियल समीकरणों को व्युत्पन्न किया, और फेलर ने उनके समाधानों, विस्फोट और सीमा व्यवहार का विश्लेषण किया, जनरेटर-आधारित सिद्धांत की स्थापना की जो जंप मार्कोव प्रक्रियाओं के आधुनिक उपचारों का आधार है।
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Agner Krarup Erlang
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- एक सतत-समय मार्कोव शृंखला एक असतत-समय शृंखला से कैसे भिन्न होती है?
- एक असतत-समय शृंखला निश्चित पूर्णांक चरणों में चलती है, जबकि एक सतत-समय शृंखला कूदने से पहले प्रत्येक अवस्था में एक यादृच्छिक घातीय समय के लिए रहती है, इसलिए इसकी गतिशीलता को एक जनरेटर में संक्रमण दरों द्वारा वर्णित किया जाता है न कि एकल-चरण संक्रमण संभावनाओं द्वारा।
- इस संदर्भ में विस्फोट क्या है?
- विस्फोट इस बात की संभावना है कि शृंखला एक सीमित समय अंतराल में असीमित कूद करती है, जो तब हो सकता है जब धारण दरें बिना किसी सीमा के बढ़ती हैं; एक शृंखला को नियमित या गैर-विस्फोटक कहा जाता है जब इसकी संभावना शून्य होती है।