स्थिर वितरण और अभिसरण
एक स्थिर वितरण एक संभाव्यता नियम है जिसे एक मार्कोव श्रृंखला अपनी गतिकी के तहत संरक्षित करती है; व्यापक परिस्थितियों में श्रृंखला अपने प्रारंभिक बिंदु को भूल जाती है और इस संतुलन में परिवर्तित हो जाती है।
Definition
एक स्थिर वितरण एक संभाव्यता सदिश है जो संक्रमण मैट्रिक्स द्वारा अपरिवर्तित रहता है, ताकि इसमें शुरू की गई एक श्रृंखला हर बाद के समय में इसके अनुसार वितरित रहे; अभिसरण सिद्धांत यह अध्ययन करता है कि एक मनमाना प्रारंभिक वितरण इस संतुलन तक कब और कितनी तेजी से पहुंचता है।
Scope
यह विषय अपरिवर्तनीय और स्थिर वितरणों और संक्रमण मैट्रिक्स के वाम ईजेनवेक्टरों के रूप में उनके लक्षण वर्णन, अस्तित्व और विशिष्टता मानदंड, विस्तृत संतुलन और प्रतिवर्तीता, अपरिवर्तनीय अनावधिक श्रृंखलाओं के लिए अभिसरण प्रमेय, कुल-भिन्नता दूरी और मिश्रण समय, और अभिसरण की दर को सीमित करने के लिए युग्मन और वर्णक्रमीय विधियों को शामिल करता है।
Core questions
- स्थिर वितरण क्या है और इसे संक्रमण मैट्रिक्स से कैसे परिकलित किया जाता है?
- किन परिस्थितियों में स्थिर वितरण अद्वितीय होता है और श्रृंखला की सीमा होता है?
- प्रतिवर्तीता क्या जोड़ती है, और यह विस्तृत संतुलन से कैसे जुड़ी है?
- संतुलन में अभिसरण की गति को कैसे मापा और सीमित किया जाता है?
Key theories
- संतुलन-अभिसरण प्रमेय
- एक अपरिवर्तनीय, अनावधिक, धनात्मक-पुनरावर्ती श्रृंखला के लिए n चरणों के बाद वितरण किसी भी प्रारंभिक बिंदु से अद्वितीय स्थिर वितरण में परिवर्तित हो जाता है, जिससे श्रृंखला स्पर्शोन्मुखी रूप से अपनी उत्पत्ति की स्मृति खो देती है।
- प्रतिवर्तीता और विस्तृत संतुलन
- एक श्रृंखला जो एक वितरण के संबंध में विस्तृत संतुलन समीकरणों को संतुष्ट करती है, वह प्रतिवर्ती होती है और उस वितरण को स्थिर के रूप में रखती है; प्रतिवर्तीता स्व-संलग्न संक्रमण ऑपरेटरों को उत्पन्न करती है और मिश्रण पर वर्णक्रमीय सीमाओं का आधार है।
Clinical relevance
स्थिर वितरण उस समय के दीर्घकालिक अंश का वर्णन करते हैं जो एक प्रणाली प्रत्येक अवस्था में बिताती है, जिससे स्थिर-अवस्था कतार की लंबाई, आनुवंशिकी में संतुलन आवृत्तियां, और मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो द्वारा नमूना किए गए लक्ष्य नियम प्राप्त होते हैं; मिश्रण-समय की सीमाएं यह निर्धारित करती हैं कि विश्वसनीय नमूने उत्पन्न करने के लिए ऐसे सिमुलेशन को कितनी देर तक चलना चाहिए।
History
डोब्लिन और कोलमोगोरोव ने 1930 के दशक में युग्मन और विश्लेषणात्मक तर्कों का उपयोग करके अभिसरण सिद्धांत स्थापित किया। मिश्रण समय का मात्रात्मक अध्ययन, जिसे 1980 के दशक से डायकोनिस और सहयोगियों द्वारा तेज किया गया, ने अभिसरण दरों को वर्णक्रमीय अंतराल और कुल-भिन्नता दूरी में कटऑफ जैसी घटनाओं से जोड़ा।
Key figures
- Wolfgang Doeblin
- Andrey Kolmogorov
- Persi Diaconis
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Frequently asked questions
- एक श्रृंखला का स्थिर वितरण कैसे ज्ञात करते हैं?
- संभाव्यता सदिश के लिए हल करें जो संक्रमण मैट्रिक्स से गुणा करने पर अपरिवर्तित रहता है; प्रतिवर्ती श्रृंखलाओं के लिए विस्तृत संतुलन समीकरण अक्सर इसे अधिक सीधे देते हैं।
- मिश्रण समय क्या है?
- यह चरणों की संख्या है जिसके बाद श्रृंखला का वितरण अपने स्थिर वितरण की एक छोटी कुल-भिन्नता दूरी के भीतर होता है, यह मापता है कि श्रृंखला कितनी जल्दी संतुलन तक पहुंचती है।