स्थिर वितरण और एर्गोडिसिटी

एक स्थिर वितरण राज्यों पर एक संभाव्यता वितरण है जिसे मार्कोव श्रृंखला अपरिवर्तित छोड़ देती है, और हल्की परिस्थितियों में श्रृंखला अपने प्रारंभिक बिंदु को भूल जाती है और इस संतुलन में परिवर्तित हो जाती है, जिसमें समय औसत अंतरिक्ष औसत से मेल खाते हैं।

Definition

मार्कोव श्रृंखला का एक स्थिर वितरण राज्यों पर एक संभाव्यता वितरण है जो श्रृंखला के एक चरण के तहत अपरिवर्तनीय है, और एक श्रृंखला एर्गोडिक होती है जब, किसी भी प्रारंभिक स्थिति से, इसका वितरण इस स्थिर वितरण में परिवर्तित हो जाता है और इसके समय औसत स्थिर अपेक्षाओं में परिवर्तित हो जाते हैं।

Scope

यह विषय स्थिर और अपरिवर्तनीय वितरणों और अपरिवर्तनीय धनात्मक-पुनरावर्ती श्रृंखलाओं के लिए उनके अस्तित्व और अद्वितीयता, अभिसरण में अनावधिकता की भूमिका, विस्तृत संतुलन और प्रतिवर्तीता, मार्कोव श्रृंखला एर्गोडिक प्रमेय जो लंबी अवधि के समय औसत को स्थिर अपेक्षाओं के साथ बराबर करता है, संतुलन और मिश्रण समय के लिए अभिसरण की दर, और मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो में इन विचारों का उपयोग शामिल करता है।

Core questions

• मार्कोव श्रृंखला में एक अद्वितीय स्थिर वितरण कब होता है?
• किन परिस्थितियों में श्रृंखला का वितरण उस स्थिर वितरण में परिवर्तित होता है?
• विस्तृत संतुलन क्या है, और प्रतिवर्तीता स्थिर वितरण खोजने को कैसे सरल बनाती है?
• लंबी अवधि के समय औसत स्थिर वितरण के तहत औसत से कैसे संबंधित हैं?

Key concepts

• स्थिर वितरण
• अपरिवर्तनीयता और अनावधिकता
• विस्तृत संतुलन
• एर्गोडिक प्रमेय
• मिश्रण समय

Key theories

अस्तित्व, अद्वितीयता, और स्थिरता में अभिसरण

एक अपरिवर्तनीय धनात्मक-पुनरावर्ती मार्कोव श्रृंखला में माध्य वापसी समय के व्युत्क्रमों द्वारा दिया गया एक अद्वितीय स्थिर वितरण होता है, और यदि यह अनावधिक भी है तो राज्य का वितरण हर प्रारंभिक बिंदु से इसमें परिवर्तित हो जाता है।

मार्कोव श्रृंखला एर्गोडिक प्रमेय

एक अपरिवर्तनीय धनात्मक-पुनरावर्ती श्रृंखला के लिए राज्य के एक फलन का लंबी अवधि का औसत स्थिर वितरण के तहत अपनी अपेक्षा में लगभग निश्चित रूप से परिवर्तित हो जाता है, जो निर्भर मार्कोव डेटा के लिए बड़ी संख्याओं के नियम का अनुरूप है।

विस्तृत संतुलन और प्रतिवर्तीता

यदि एक वितरण संक्रमण संभावनाओं के साथ विस्तृत संतुलन को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी दो राज्यों के बीच का प्रवाह दोनों दिशाओं में संतुलित होता है, तो यह स्थिर होता है और श्रृंखला प्रतिवर्ती होती है, एक शर्त जिसका उपयोग मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो सैंपलर को डिजाइन करने के लिए किया जाता है।

Clinical relevance

ये परिणाम मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो के सैद्धांतिक इंजन हैं, जहां एक श्रृंखला को एक लक्ष्य वितरण को अपने स्थिर नियम के रूप में रखने के लिए डिज़ाइन किया गया है ताकि इसके नमूने उस वितरण का अनुमान लगा सकें; मिश्रण-समय की सीमाएं चिकित्सकों को बताती हैं कि ऐसे सिमुलेशन को कब तक चलाना है, और वही सिद्धांत संतुलन कतार की लंबाई और स्थिर-राज्य विश्वसनीयता को नियंत्रित करता है।

History

मार्कोव श्रृंखलाओं का संतुलन सिद्धांत मार्कोव के मूल कार्य से विकसित हुआ और इसे डब, फेलर और अन्य द्वारा अपने आधुनिक रूप में रखा गया। 1953 के मेट्रोपोलिस एल्गोरिथम और 1970 के हेस्टिंग्स के सामान्यीकरण के साथ इसका अनुप्रयुक्त महत्व बढ़ गया, जिसने एक स्थिर वितरण में अभिसरण को गणना की एक व्यावहारिक विधि में बदल दिया।

Key figures

• Andrey Markov
• Nicholas Metropolis
• Wilfred Keith Hastings
• Sean Meyn

Seminal works

• norris1997

Frequently asked questions

क्या हर मार्कोव श्रृंखला एक स्थिर वितरण में परिवर्तित होती है?

नहीं; अभिसरण के लिए अपरिवर्तनीयता, धनात्मक पुनरावृत्ति और अनावधिकता जैसी शर्तों की आवश्यकता होती है। एक आवधिक श्रृंखला बिना स्थिर हुए चक्र कर सकती है, और एक क्षणिक या शून्य-पुनरावर्ती श्रृंखला में कोई स्थिर वितरण नहीं हो सकता है।

व्यवहार में प्रतिवर्तीता क्यों उपयोगी है?

विस्तृत संतुलन के माध्यम से प्रतिवर्तीता एक सरल समीकरण देती है जिसे एक उम्मीदवार स्थिर वितरण को संतुष्ट करना चाहिए, जो स्थिर वितरण को सत्यापित करना आसान बनाता है और मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स और कई अन्य मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के पीछे डिजाइन सिद्धांत प्रदान करता है।